„Lineáris egyenlet” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
BinBot (vitalap | szerkesztései)
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
'''Lineáris-''' egyenleteknek nevezzük az <big>''L<sub>1</sub>(x)+c<sub>1</sub>=L<sub>2</sub>(x)+c<sub>2</sub>''</big> alakú egyenleteket ahol <big>''L<sub>1</sub>''</big> és <big>''L<sub>2</sub>''</big> [[lineáris operátor]] ([[lineáris leképezés]]) <big>''c<sub>1</sub>''</big> és <big>''c<sub>2</sub>''</big> konstans, <big>''x''</big> pedig ismeretlen. A szakirodalom általában csak az <big>''L(x)=c''</big> alakú egyenletekre korlátozódik, ugyanis bizonyítható, hogy <big>''L=L<sub>1</sub>-L<sub>2</sub>''</big> és <big>''c=c<sub>2</sub>-c<sub>1</sub>''</big> helyettesítéssel az egyenlet a másikba transzformálható, tehát a két definíció lényegében egyenértékű. A szakirodalom nagyon sokszor kiegyenlíti a lineáris egyenletet az [[elsőfokú egyenlet]]tel, habár például a <big>''0·x=2''</big> egyenlet lineáris de nem elsőfokú (csak látszólag) mivel lényegében a <big>''0=2''</big> egyenletről van szó, amelyból "kiesett" az ismeretlen és így nulladfokú. Az ismeretlen (<big>''x''</big>) lehet rendezett pár, számhármas, számnégyes, stb, így lényegében az előbbi definíció magába foglalja az egy és többismeretlenes lineáris egyenleteket is. Az <big>''L(x)=c''</big> képlet helyett általában csak egyszerűen <big>''Lx=c''</big> képletet írnak.
 
Példák egyismeretlenes lineáris egyenletekre a valós számok halmazán:
 
<big>''2x=5 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3x+2=11 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{x-3}{5}=2x+1</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
(x-1)<sup>2</sup>=(x+1)<sup>2</sup> &nbsp; </big>(rendezve 8x=8)<big> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2x+1=1+2x </big>(rendezve 0x=0 '')
 
Bővebben ld. [[Lineáris algebra#A „linearitás” fogalma|Lineáris algebra/A linearitás fogalma]].
12. sor:
Az <big>''Lx=c''</big> [[egyenlet megoldása]] az <big>''x=L<sup>-1</sup>c''</big> ha az <big>''L''</big> [[operátor]]nak létezik [[inverz]]e (<big>''L<sup>-1</sup>''</big>) azaz ha az <big>''L''</big> [[bijektív]]. Ha az <big>''L''</big> nem bijektív, akkor az <big>''Lx=c''</big> egyenletnek több (általában végtelen sok) megoldása van.
 
A válós számok halmazán, egy ismeretlen esetében, ez így néz ki: Az <big>'' a·x = b ''</big> [[egyenlet megoldáshalmaza]]
 
:<math> \Big\{ \frac{b}{a}\Big\} </math> ,&nbsp;&nbsp; (<big>=∅</big>), azaz nincs megoldása,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;haazaz egy megoldása van, a <bigmath>'' \frac{b}{a}\ = 0 ''</bigmath>,&nbsp;&nbsp; ésha <big>'' ba ≠ 0 ''</big>
 
: <math> \Big\mathbb{R \Big\} </math> ,&nbsp;&nbsp; (<big>=∅</big>), azaz nincs megoldása,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz bármely szám megoldása, &nbsp;&nbsp;ha <big>'' a = 0 ''</big> és <big>'' b = 0 ''</big>
 
:<math> \Big\mathbb{\frac{bR}{a}\Big\} </math> ,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz egybármely megoldásaszám vanmegoldása, a&nbsp;&nbsp;ha <mathbig>''a = \frac{b}{a}\ 0''</mathbig>,&nbsp;&nbsp; haés <big>''b a ≠= 0 ''</big>
 
:<math> \Big\{ \Big\} </math> ,&nbsp;&nbsp; (<big>=∅</big>), azaz nincs megoldása,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ha <big>'' a = 0 ''</big> és <big>'' b ≠ 0 ''</big>
 
: <math>\mathbb{R}</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz bármely szám megoldása, &nbsp;&nbsp;ha <big>'' a = 0 ''</big> és <big>'' b = 0 ''</big>
 
== Lineáris egyenletek logikai kapcsolata más matematikai elemekkel ==
26 ⟶ 24 sor:
Az elsőfokú egyenleteket elsősorban az [[egyenes]]ekkel és azok [[egyenlet]]ével tudjuk összefüggésbe hozni, mivel bármely lineáris egyenlet egy egyenest definiál a [[numerikus analízis]] nyelvén. Az egyenes egyenletét [[lineáris függvény]]ként is értelmezhetjük, tehát a [[lineáris algebra]] elsőfokú egyenletéből rögtön találunk párhuzamokat [[koordinátageometria]]i és az [[Matematikai analízis|analízisben]] előforduló fogalmakkal.
 
* Az egyenes egyenletének formája:
:<math>Ax + By - C = 0.</math>
* A lineáris függvények formája:
:<math>y = ax + b.</math>
* Lineáris algebrai vonatkoztatások: [[Lineáris egyenletrendszer]]ek:
43 ⟶ 41 sor:
== Források ==
{{források}}
 
 
{{Portál|matematika}}