„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
15. sor:
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:
:<math>f(x)-f(u)\geq 0\,</math>
így
:<math>\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\geq 0</math>
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:
21. sor:
ahol az egyenlőség az ''u''-beli differenciálhatóság miatt igaz.
Hasonlóképpen, ha x olyan V-beli, hogy x < u, akkor
:<math>f(x)-f(u)\leq 0\,</math>,
:<math>\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>
29. sor:
:<math>f'(u)=0\,</math>. [[Quod erat demonstrandum|■]]
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind bal oldali, mind jobb oldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két
=== Átviteli elvvel ===
35. sor:
A határértékre vonatkozó átviteli elvet általában akkor célszerű használni, ha tudjuk, hogy egy adott határérték létezik, csak meg kell állapítanunk az értékét. A mostani pont ez a szituáció.
Legyen B(u,δ) olyan környezete u-nak, mely teljes egészében az értelmezési tartományban van és melyre leszűkítve f-et u-ban minimuma van. Legyen
:<math>x_n:=(-1)^n\frac{\delta}{n}</math>
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:
47. sor:
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Ebből következik, hogy tetszőleges ''h'' ''pozitív'' végtelenül kicsiny számra:
:<math>c\cong \frac{f(u-h)-f(u)}{-h} \leq 0\leq \frac{f(u+h)-f(u)}{h}\cong c</math>
így
:<math>c\cong 0</math>
, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. [[Quod erat demonstrandum|■]]
| |||