„Beatty-tétel” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló |
|||
15. sor:
=== Első bizonyítás ===
Világos, hogy <math>\alpha</math> és <math>\beta</math> mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért <math>\mathcal{B}_\alpha</math>-ban, illetve <math>\mathcal{B}_\beta</math>-ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy <math>\mathcal{B}_\alpha\cap\mathcal{B}_\beta=\emptyset</math> (1) és <math>(\mathbb{N}\setminus\mathcal{B}_\alpha)\cap(\mathbb{N}\setminus\mathcal{B}_\beta)=\emptyset</math>
<u>(1) bizonyítása:</u> Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy <math>n\alpha</math> és <math>m\beta</math> ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis
<math>k< n\alpha< k+1</math>,
átosztva
<math>\frac{k}\alpha<n<\frac{k+1}{\alpha}</math>,
A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:
70. sor:
Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő <math>m+n-2</math> racionális szám közül pontosan egy esik az <math>(1;2),(2;3),\dots,(m+n-2;m+n-1)</math> intervallumok mindegyikébe:
<math>\frac{m+n}m,\frac{2(m+n)}m,\dots,\frac{(m-1)(m+n)}m</math>;
== Jegyzetek ==
| |||