Wikipédia

„Kardinális szám” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
aNincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
A különféle végtelenekkel szembesülve [[Georg Cantor]] (1845–1918) orosz születésű német matematikus bevezette a '''kardinális szám''' fogalmát, ezzel tett különbséget közöttük.
 
==Kardinális szám==
Egy halmaz kardinális száma, más szóval [[számosság]]a nagyjából azonos az elemszámával.
Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.
 
Cantor az ''N'' halmaz kardinális számát א‎<sub>0</sub>-lal jelölte; az ([[alef]]) a héber ábécé első betűje.
Az ‎א‎<sub>0</sub> (alef-null) változatlanul használatos azóta, hogy Cantor bevezette.
 
Az ''R'' halmaz kardinális számát ''c'' -vel (''c'' a continuum szó latin megfelelője, a continuum szó kezdőbetűjével) jelöljük.
 
Mivel ''N'' végtelensége alacsonyabb rendű, mint ''R''-é, fennáll, hogy א‎<sub>0</sub> < ''c''.▼
 
▲Mivel ''N'' végtelensége alacsonyabb rendű, mint ''R''-é, fennáll, hogy א‎<sub>0</sub> < ''c''.
==Kardinális szám és a kontinuumhipotézis==
 
Van kardinális szám א‎<sub>0</sub> és ''c'' között?
 
A hagyományos aritmetikában két tört között mindig van egy közbülső harmadik.
Ha csak egész számok közötti [[egyenlőtlenség]]ekre szorítkozunk, akkor nem szúrhatunk be közéjük másik számot: pl. 2<3, közöttük nincs másik egész szám.
 
A [[kontinuumhipotézis]] szerint nincs kardinális szám א‎<sub>0</sub> és ''c'' között, más szóval az א‎<sub>0</sub> után ''c'' a ‘következő’ kardinális szám.
Cantor megpróbálta bebizonyítani a kontinuumhipotézist, de sokévi próbálkozás után sem járt sikerrel.
 
[[Kurt Gödel]] úgy gondolta, hogy ez a hipotézis hamis, de neki sem sikerült bizonyításig eljutnia, végül amerikai kollegájávalkollégájával, Paul Cohennel együtt bebizonyították: a halmazelmélet szokásos keretei között a kontinuumhipotézist sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet.
Ezt úgy is szokták mondani, hogy a kontinuumhipotézis független a halmazelméletet leíró szokásos axiómáktól.
 
Ez bizonyos határpont volt. Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik. A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.▼
Ez bizonyos határpont volt.
 
Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik.
 
▲A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.
 
==Irodalom==
33 ⟶ 31 sor:
 
==Kapcsolódó szócikkek==
*[[ Kontinuumhipotézis]]
*[[Halmazelmélet]]
*[[Cantor-paradoxon]]
40 ⟶ 38 sor:
*[[Geometria]]
*[[Axióma]]
 
*[[Az aritmetika alapjai]]
 
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Kardinális_szám”