„Gödel első nemteljességi tétele” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Visszaállítottam a lap korábbi változatát: Bináris (vita) szerkesztéséről Bodormenta szerkesztésére |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
:''A Gödel-tétel ide irányít át. Más
'''[[Kurt Gödel|Gödel]] első nemteljességi tétele''' a [[matematikai logika]] és a [[metamatematika]] nagy jelentőségű tétele, mely (a [[Gödel második nemteljességi tétele|második nemteljességi tétellel]] együtt) destruktív hatást gyakorolt a [[matematika]] [[formális nyelv]]ekre építő [[a matematika alapjai|megalapozási]] kísérleteire. Amellett, hogy a tételnek az [[analitikus filozófia|analitikus]] [[nyelvfilozófia|nyelvfilozófiában]] is fontos szerepe van, bizonyításának módszere nagyban hozzájárult a [[rekurzív matematika]] (így a [[számítógép-tudomány]]) fejlődéséhez.
27. sor:
2 – A Peano-aritmetika helyett annak egy gyengített verziója is elegendő. A tétel fennállásához a [[Robinson-féle Q aritmetika]] axiómáinak feltétele.
3 – Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor
=== Episztemológiai vonatkozások ===
A tétel megfogalmazható úgy is, hogy
: ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan mondat, mely eldönthetetlen, miközben ''igaz'' ''.
Itt az ''igaz'' minősítést abban az értelemben használják, ahogy [[Arisztotelész]], azaz úgy gondolják, minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis. Ha elfogadjuk, hogy a mondatok igazságértéke felderítésének lényegében egyedüli útja az, hogy találunk-e hozzájuk levezetést, akkor súlyos episztemológiai állítással kerülünk szembe. Eszerint minden elég erős elméletben lesz olyan mondat, melynek igazságáról nem fogunk tudni meggyőződni, vagyis egyik (elég erős) formális-axiomatikus rendszer sem lesz képes arra, hogy maradéktalanul minden eldöntendő kérdésre válaszoljon. Eszerint tehát eleve lehetetlen minden mondat igazságát levezetéssel
== A bizonyítás vázlata ==
41. sor:
: Ha ''k'', ''r'', ''n'' természetes számok, akkor van olyan természetes szám ''N'', hogy a következő állítás igaz: ha az 1,2,..,''N'' számok ''n'' elemű részhalmazait ''r'' színnel színezzük, akkor van <math>a_1<a_2<\cdots<a_s</math> sorozat, aminek minden ''n'' elemű részhalmaza ugyanazt a színt kapja és <math>s\geq k, a_1</math> teljesül.
Tehát Ramsey tételét úgy módosítjuk, hogy a homogén halmaz méretének nemcsak egy előírt számot, de a saját első eleme által megadott számot is el kell érnie. Ez erősebb a véges Ramsey tételnél és gyengébb a végtelen Ramsey tételnél.
Egy másik állítás, ami megfogalmazható, de nem bizonyítható a Peano-axiómarendszerben [[Goodstein tétele]], ahogy azt Laurence Kirby és Jeff Paris igazolta.
49. sor:
== Irodalom ==
* [[Raymond Smullyan]]: ''Gödel nemteljességi tételei'' (Typotex, [[1999]])
== További információk ==
| |||