„Borel–Lebesgue-tétel” változatai közötti eltérés

Egy halmazrendszer véges metszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. Az alábbi állítások ekvivalensek a valós számok körében.

# Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. [[Bolzano–Weierstrass-tétel|(Bolzano-Weierstrass tétel)]]

# Megszámlálhatóan sok zárt halmaz véges metszet tulajdonságú nemüres rendszerének a metszete nemüres, ha van legalább egy korlátos halmaz közöttük.

Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimotkritériumot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω_i)_i=1^∞. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''_n) sorozatot. Ha Ω₁ lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω₁ nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''₁ ∈ ''K'' \ Ω₁. Ha Ω₁ ∪ Ω₂ már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''₂ ∈ ''K'' \ (Ω₁ ∪ Ω₂). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω_i)_i=1ⁿ már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''_n) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω_i)_i=1^∞ lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω_m nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω_m-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''_n)-beli tag. (''x''_n) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω_i)_i=1ⁿ-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω_m-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω_i)_i=1^∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogahatókézzelfogható módon).[[Quod erat demonstrandum|■]]

Legyen ''C'' ⊆ ℝⁿ korlátos és zárt halmaz, {Ω_i}_i∈I nyílt fedése ''C''-nek. Fedjük le ''C''-t véges sok ''1/k'' sugarú gömbbel. ''C'' korlátossága miatt ez megtehető. Minden B_j gömbhöz válasszunk ki {Ω_i}_i∈I-ből egy Ω_j nyílt halmazt úgy, hogy Ω_j fedje B_j-t. Ha B_j nem volna fedhető, akkor válasszuk hozzá Ω_j-t tetszőlegesen.

Először a korlátosságot látjuk be. Legyen ''u'' tetszőleges '''R'''-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(''u'',''n''))_{''n''∈''N''} rendszer lefedi ''K''-t. Ebből kiválaszhatókiválasztható ''véges'' részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi ''K''-t, így ''K'' átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.

Ha ''r'' a legkisebb sugár mindközülmind közül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így ''K''-ba sem. Tehát ''K'' komplementere nyílt, ''K'' pedig zárt.