„Bolzano–Darboux-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a linkjav |
a Robot: Automatikus szövegcsere (-<sub>2<sub> +<sub>2</sub>) |
||
12. sor:
Előrebocsátjuk, hogy a H ⊆ '''R''' halmaz pontosan akkor intervallum, ha minden a,b ∈ H esetén az (a,b) nyílt intervallum része H-nak. Belátjuk, hogy f(I) ilyen tulajdonságú.
Legyenek az y<sub>1<sub> és y<sub>2</sub> ''f(I)''-beli pontok olyanok, hogy y<sub>1<sub> < y<sub>2</sub>. Világos, hogy léteznek olyan ''I'' beli x<sub>1<sub> és x<sub>2</sub> pontok, hogy y<sub>1<sub>=f(x<sub>1<sub>) és y<sub>2</sub>=f(x<sub>2</sub>). Mivel ''f'' függvény és y<sub>1<sub> ≠ y<sub>2</sub>, ezért x<sub>1<sub> ≠ x<sub>2</sub>. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy x<sub>1<sub> < x<sub>2</sub> (ellenkező esetben nevezzük át őket úgy, hogy teljesüljön a reláció).
A nyílt (y<sub>1<sub>,y<sub>2</sub>) intervallum része f(I)-nek, ugyanis legyen y ∈ (y<sub>1<sub>,y<sub>2</sub>) tetszőleges. Ezzel a ponttal definiáljuk a zárt intervallumon értelmezett
:<math>f_y:[x_1,x_2];x\mapsto f(x)-y</math>
leképezést. Ez folytonos, f<sub>y<sub>(x<sub>1<sub>)=y<sub>1<sub>-y<0 és f<sub>y<sub>(x<sub>2</sub>)=y<sub>2</sub>-y>0, így a [[Bolzano-tétel|Bolzano tétele]] szerint létezik zérushelye, mégpedig ez csak a nyílt (x<sub>1<sub>,x<sub>2</sub>) intervallumban lehet. Ha viszont x ∈ (x<sub>1<sub>,x<sub>2</sub>), olyan, hogy f<sub>y<sub>(x) = 0, akkor f(x)-y=0 és
:<math>y=f(x)\,</math>
s mivel y tetszőleges volt, ezért az egész nyílt intervallum része f(I)-nek.
Természetesen y<sub>1<sub>=f(x<sub>1<sub>) és y<sub>2</sub>=f(x<sub>2</sub>) miatt a zárt intervallum is része f(I)-nek. [[Quod erat demonstrandum|QED]]
==Általánosítás==
| |||