„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
31. sor:
==Teljes differenciál és függvényműveletek==
 
A teljes differenciálás egy adott ''a'' pontban tekinthető úgy, mint az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvényeken végzett operáció. Ebben a tekintetben nevezzük létezik a ''D<sub>a</sub>'' differenciáloperátor, mely egy ''f'' (''a''-ban totálisan differenciálható) függvényhez a ''Df(a)'' leképezést rendeli. Bizonyos műveletekkel összekapcsolt függvények differenciáljának kiszámítása visszavezehető a függvények differenciáljaival végzett műveletekre.
 
=== A differenciálás linearitása ===
Legyen ''f'' és ''g'' : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n<sup> az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvény. Ekkor teszőleges &lambda; és &mu; valós számokkal az &lambda;''f'' + &mu;''g'' is totálisan differenciálható ''a''-ban és differenciálja:
:<math>d(\lambda f+ \mu g)(a)=\lambda\, df(a) + \mu \,dg(a)\;</math>
 
=== Függvénykompozíció differenciálása ===
Ha ''g'' : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> differenciálható az ''a'' pontban és ''f'' : '''R'''<sup>n</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>k</sup> differenciálható a ''g(a)'' pontban, továbbá ''f'' o ''g'' értelmezési tartományának belső pontja ''a'', akkor ''f'' o ''g'' is differenciálható, és
:<math>d(f\circ g)(a)= df(g(a))\circ dg(a)</math>
 
44. sor:
Az egyváltozós, vektorértékű, ''a''-ban differenciálható ''f'' függvény esetén a Fréchet-derivált egyértelműen megfeleltethető a df(a)1 számnak, a df(a)x=(df(a)1)<math>\cdot</math> x azonosság miatt. Ekkor df(a)1-et f'(a)-val jelöljük és ezt nevezzük az ''a''-beli deriváltnak.
 
Ha ''f'' és ''g'' : '''R'''<math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvény, akkor az ''f'' <math>\cdot</math> ''g'' függvény is totálisan differenciálható és differenciálja:
:<math>(f\cdot g)'(a)=f'(a)\cdot g(a)+f(a)\cdot g'(a)</math>