„Láncgörbe” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
A láncgörbe nem katenoid - lásd ezt a szócikket, a vitalapot és a katenoid szócikket |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
5. sor:
==History==
The word ''catenary'' is derived from the Latin word ''catena'', which means "[[chain]]". The curve is also called the "alysoid," "funicular," and "chainette." [[Galileo Galilei|Galileo]] claimed that the curve of a chain hanging under gravity would be a [[parabola (görbe)|parabola]], but this was disproved by [[Joachim Jungius|Jungius]] in a work published in [[1669]].<ref>Swetz, Faauvel, Bekken, "Learn from the Masters", 1997, MAA ISBN
In [[1691]], [[Leibniz]], [[Christiaan Huygens]], and [[Johann Bernoulli]] derived the [[equation]] in response to a challenge by [[Jakob Bernoulli]]. Huygens first used the term 'catenaria' in a letter to Leibniz in 1690, and [[David Gregory]] wrote a treatise on the catenary in 1690. However [[Thomas Jefferson]] is usually credited with the English word 'catenary'.<ref>http://www.pballew.net/arithme8.html</ref>
19. sor:
== A láncgörbe matematikája ==
[[Kép:catenary-pm.png|thumb|300px|right|Különböző ''a'' paraméterhez tartozó láncgörbék.]]
A láncgörbét megvalósító függvények osztálya a [[Hiperbolikus függvények|koszinusz hiperbolikusz]] függvények speciálisan transzformált alakjai.
:<math>y = a \cdot \mathrm{ch} \left ({x \over a} \right ) =</math>
::<math>= a \cdot {e^{x \over a} + e^{-{x \over a}} \over 2},</math>
amely összefüggésben
:<math>a =\left(\frac{T_o}{p}\right).</math>
ahol <math>T_o\,</math> a láncot terhelő belső húzóerő vízszintes komponense, <math>p\,</math> pedig az egységnyi hosszra eső súly. Az <math> a \,</math> paraméter az <math>x = 0\,</math> értékhez tartozó
<math>y(0)\,</math> abszcissza, ahogy az ábrán is látszik.
36. sor:
===Elemi mechanikai bizonyítás===
[[Kép:lancgorbe1.png|thumb|300px|right| A piros ívdarab súlya egyensúlyt tart a ''C'' és ''D'' pontban ébredő reakcióerők eredőjével.]]
Annak az igazolása, hogy a két végén felfüggesztett kötél alakja valóban ilyen, a következőképpen zajlik. Rögzítsünk egy kötelet az ábrán látható módon az ''A'' és ''B'' pontokban. A kötél legalsó pontja legyen ''C'', és tekintsük a kötél egy ''CD'' ívdarabját. A feladat a ''D'' pont ''x'' koordinátájának függvényében az ''y'' koordinátája meghatározása.
A ''CD'' kötéldarabra a következő erők hatnak. Egyrészt az ív ''S'' súlypontjában a '''G'''<sub>S</sub> súlyerő, másrészt a ''C'' pontban a balra lévő kötéldarab által kifejtett, a szimmetria miatt vízszintes irányú '''F'''<sub>C</sub> tartóerő és a ''D'' pontban jobbra lévő darab '''F'''<sub>D</sub> tartóereje. Ez utóbbi erő a görbe ''D'' pontbeli érintőjében hat, hiszen a kötél csak húzóerőt képes kifejteni. Az érintő irányszöge ebben a pontban α. A ''CD'' kötéldarabra felírhatjuk az egyensúlyt biztosító mechanikai feltételeket:
46. sor:
itt ''g'' a nehézségi gyorsulás, ''k'' a kötél egységnyi hosszának tömege, továbbá felhasználtuk az [[ívhossz]] kiszámítására vonatkozó integrális összefüggést. Ha az egyensúlyi egyenleteket elosztjuk egymással, lévén <math>\scriptstyle{\mathrm{tg}(\alpha)=y'(x)}</math> egy integrodifferenciál-egyenletet kapunk ''y'' = ''y''(''x'')-re:
:<math>y'(x)=\frac{gk}{F_C}\int\limits_{t=0}^x\sqrt{1+(y'(t))^2}\;\mathrm{d}t</math>
ezt deriválva (az integrálfüggvény deriválásának szabályai szerint és feltételezve, hogy a keresett görbe kétszer folytonosan differenciálható) pedig egy hiányos másodrendű differenciálegyenletet:
:<math>y''(x)=\frac{1}{a}\sqrt{1+(y'(x))^2}</math>
ahol 1/''a''-ba beleértettük a feladat összes multiplikatív konstansát. Ez az egyenletet a változók szeparálásával megoldható <math>\scriptstyle{p(x)=y'(x)}</math>-re, miközben az integrált hiperbolikus helyettesítéssel számítjuk ki. Látható ugyanis, hogy az
:<math>y'(x)=\mathrm{sh}\left(\frac{x}{a}\right)</math>
megoldás az
:<math>\mathrm{ch}^2(t)-\mathrm{sh}^2(t)=1\,</math>
azonosság miatt. Innen integrálással
:<math>y(x)=a\cdot \mathrm{ch}\left(\frac{x}{a}\right)</math>
62. sor:
Ebben az egyenletben a Lagrange-függvény parciális deriváltjai:
:<math>\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{yy'}{ \sqrt{1+y'^2}},\quad\quad\frac{\partial L}{\partial y}=\sqrt{1+y'^2}</math>
amelyekből az
:<math>y\,y'' - y'^2 = 1</math>
másodrendű differenciálegyenlet adódik, melynek kimutatható módon szintén a láncgörbe a megoldása.
86. sor:
Az ókorban a fordított láncgörbe alakú boltívet intuitíve találták fel, és úgy találták, hogy szilárd, stabil íveket lehet így építeni. A [[Taq-i Kisra]] az [[irán]]i [[Ctesiphon]]ban látványos példaként maradt ránk. Az ókori görög és római építészetben a kevésbé hatékony körív alakú boltívek terjedtek el széles körben. Európában valószínűleg elfelejtették a láncgörbe alakú boltíveket a Római birodalom bukásával, a középkor és a [[reneszánsz]] alatt alig építettek ilyeneket, bár a csúcsíves [[boltív|bolthajtás]] a láncgörbe nem tudatos közelítése lehetett.
[[Franciaország]]ban a [[Rhône]] folyón [[1171]] és [[1185]] között épített avignoni híd, a [[Pont d’Avignon]] ívei ugyancsak láncgörbe alakúak.
[[Antoni Gaudí]] [[Katalónia|katalán]] építész gyakran használta a láncgörbe alakot munkáiban. Az ívek és bordák legmegfelelőbb alakjának megtalálásához fonalakból és súlyokból összeállított modelleket használt. A súlyerők hatására a fonalak automatikusan olyan helyzetet vettek fel, hogy bennük csak húzó igénybevétel ébredjen. Gaudi gondolatmenete az volt, hogy ha megfordítja a modellt, és a huzalokat megfelelő rudakkal helyettesíti, akkor olyan szerkezetet kap, melyben csak rúdirányú nyomóerő ébred.
[[Saint Louis (Missouri)|Saint Louisban]] ([[Missouri (állam)|Missouri]]) a Jefferson Nemeti Park kapu ívének alakja szintén fordított láncgörbe. Fesztávolsága és magassága egyaránt 190 méter.
A budapesti [[Budapest-Keleti pályaudvar|Keleti pályaudvar]]on a csarnok tetőszerkezetének keresztmetszete megközelítőleg láncgörbe.
<gallery>
108. sor:
<!--
The [[Jefferson National Expansion Memorial|Gateway Arch]] in [[St. Louis, Missouri|Saint Louis]], [[Missouri (állam)|Missouri]], [[United States]] follows the form of an inverted catenary. It is 630 feet wide at the base and 630 feet tall. The exact formula
:<math>y = -127.7 \; \textrm{ft} \cdot \cosh({x / 127.7
is displayed inside the arch.
In [[structural engineering]] a '''catenary shell''' is a structural form, usually made of [[concrete]], that follows a catenary curve. The profile for the shell is obtained by using flexible material subjected to [[gravity]], converting it into a rigid [[formwork]] for pouring the concrete and then using it as required, usually in an inverted manner.
[[Kép:CatenaryKilnConstruction06025.JPG|thumb|right|Catenary arch kiln under construction over temporary form]]
153. sor:
:<math>
\rho _{0}\left( {\sigma -1}\right) \pi a^{2}g\cos \phi =\rho _{0}av^{2}\left[
{C_{D}\sin \phi +\pi C_{N}}\right] \sin \phi .
</math>
160. sor:
:<math>
\rho _{0}\left( {\sigma -1}\right) \pi a^{2}g\cos \phi =\rho _{0}av^{2}{
C_{D}\sin }^{2}{\phi ;}
</math>
167. sor:
:<math>
\left( {\sigma -1}\right) \pi ag\cos \phi =v^{2}{C_{D}\sin }^{2}{\phi =}v^{2}
{C_{D}}\left( 1-\cos ^{2}\phi \right) ;
</math>
174. sor:
:<math>
\cos ^{2}\phi +\frac{\left( {\sigma -1}\right) \pi ag}{v^{2}{C_{D}}}\cos
\phi -1=0;
</math>
181. sor:
:<math>
\cos \phi =-\frac{\left( {\sigma -1}\right) \pi ag}{2v^{2}{C_{D}}}+\sqrt{1+
\frac{\left( {\sigma -1}\right) ^{2}\pi ^{2}a^{2}g^{2}}{4v^{4}{C_{D}^{2}}}}.
</math>
The drag coefficients of a faired cable are more complicated, involving loading functions that account for drag variation as a function of incidence angle.
200. sor:
== Források ==
* ''[[Pattantyús-Ábrahám Géza|Pattantyús]] Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve'', 1. kötet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
* J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev, ''Matematikai zsebkönyv'', Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN
== Külső hivatkozások ==
| |||