„Euler-képlet” változatai közötti eltérés

[[Richard Feynman]] az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte.<ref>R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: ''Mai fizika'', 2., Relativisztikus mechanika. Forgó- és rezgőmozgás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985, 88.old.</ref>

A képlet úgy interpretálható, hogy az ''e''^''ix'' egy egységsugarú kört rajzol ki a [[komplex számok]] síkján, ahogy ''x'' az összes valós számot végigpásztázza. Itt ''x'' az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).

Az eredeti bizonyítás az ''e''^''z'' exponenciális függvény (ahol ''z'' komplex szám) és a valós argumentumú sin&nbsp;''x'' valamint a cos&nbsp;''x'' szögfüggvény [[Taylor-sor]]ba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).

Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komlexkomplex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden ''z'' = ''x''&nbsp;+&nbsp;''iy'' komplex szám felírható így:

:<math>e^a e^{b} = e^{a + b}\,</math>

z=|z| e^{i \phi} =

melyről be lehet látni, hogy minden ''k'' egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a [[De Moivre-képlet|de Moivre]] képlet.

: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>

:<math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>

:<math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i \sinh(y). </math>

Az <math>f </math> deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:

: <math>g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} .\ </math>

Ezt a differenciálegyneletetdifferenciálegyenletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:

: <math>g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \ </math>