„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a robot Adding: cs:Rolleova věta |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
18. sor:
A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.
'''Tétel''' – Az ''f'' : <math>I</math><math>\rightarrow</math>'''R''' intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ''ξ'' ∈ <math>I</math> pont, hogy ''f'' '( ''ξ'' ) = 0, feltéve, hogy létezik az lim<sub>''α''</sub> ''f'' és lim<sub>''β''</sub> ''f'' határérték és lim<sub>''α''</sub> ''f'' = lim<sub>''β''</sub> ''f'' , ahol ''α'' és ''β'' a <math>I</math> két végpontja.
''Bizonyítás.'' Indirekt módon tegyük fel, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> ) belső pont esetén ''f'' '(''x'') > 0 vagy ''f'' '(''x'') < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') > 0 vagy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') < 0, ugyanis ha lenne ''a'' < ''b'' int( <math>I</math> )-beli elem, hogy ''f'' '(''a'') és ''f'' '(''b'') ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a [[Darboux-tétel]]t alkalmazva lenne olyan ''c'' pont az [''a'',''b''] zárt halmazon, hogy ''f'' '(''c'') = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben ''f'' az int( <math>I</math> ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim<sub>''α''</sub> ''f'' = lim<sub>''β''</sub> ''f'', tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. <big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big>
Ilyen például az
| |||