„Lie-algebra” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
6. sor:
melyet '''kommutátor'''nak vagy '''Lie-zárójel'''nek is neveznek és eleget tesz a következő tulajdonságoknak:
* '''Bilinearitás'''
::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad
:minden ''a'', ''b'' skalárra és minden ''x'', ''y'', ''z'' vektorra.
* '''[[antikommutatív|Antikommutativitás]]''' vagy '''ferde szimmetria'''
21. sor:
: <math> [a,b]=a * b-b * a.\ </math>
Lie-zárójellel, ahol * az ''A''-beli szorzást jelöli. Ennek asszociatív voltából következnek a Lie-zárójel fent említett tulajdonságai. Nevezetesen, egy ''F''-fel jelölt test fölötti ''n'' × ''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]]ok a
=== Homomorfizmusok, részalgebrák és ideálok ===
A Lie-zárójel nem asszociatív, vagyis <math>[[x,y],z]</math> nem mindig egyenlő <math>[x,[y,z]]</math>-vel. A terminológia mégis egyezik az asszociatív gyűrűk, vagy algebrák esetével. Egy <math>U \subseteq V</math> altér Lie-részalgebra, ha zárt a Lie-zárójelre. Ha egy <math>I\subseteq V</math> eleget tesz a
33. sor:
: <math> f: V\to V', \quad f([x,y])=[f(x),f(y)], </math>
minden ''x'', ''y'' eleme ''V''-re. A homomorfizmusok magjai éppen az ideálok. Ha ''I'' ideál a ''V'' Lie-algebrában, akkor képezhető a ''V''/''I'' faktoralgebra, és teljesül az első izomorfizmustétel. Két Lie-algebra, ''V'' és ''V'''
: <math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in V,\, x',y'\in V'.</math>
90. sor:
A csoportokhoz hasonlóan definiálhatók az Abel, a feloldható és a nilpotens tulajdonságok.
Egy ''V'' Lie-algebra Abel, ha a Lie-zárójel azonosan nulla,
Egy Lie-algebra nilpotens, ha a kommutátorok minden véges sorozata eltűnik. Azaz:
104. sor:
A feloldható Lie-algebrák egy még bővebb osztályt adnak. Egy Lie-algebra feloldható, ha a
:<math> V > [V,V] > [[V,V],[V,V]] > [[[V,V],[V,V]],[[V,V],[V,V]]]
sorozatok egy idő után nullává válnak.
112. sor:
Egy Lie-algebra egyszerű, ha nem Abel, és nincsenek nem triviális ideáljai. Féligegyszerű, ha a nullideálon kívül nincsenek Abel-féle ideáljai. Ekvivalensen, radikálja a nullideál. Egy egyszerű Lie-algebra féligegyszerű is. Megfordítva: belátható, hogy minden féligegyszerű Lie-algebra egyszerű minimális ideálok direkt összege.
A Lie-algebrák féligegyszerűsége kapcsolódik ábrázolásaik teljes reducibilitásához. Ha az alaptest karakterisztikája 0, a ''V'' Lie-algebra féligegyszerűsége
=== Klasszifikáció ===
A féligegyszerű és a feloldható Lie-algebrák a Lie-algebrák két véglete. Minden Lie-algebra felbontható feloldható radikáljának és egy féligegyszerű Lie-algebrának szemidirekt összegére. Az algebrailag zárt test fölötti féligegyszerű Lie-algebrákat már osztályozták, ellenben a feloldható Lie-algebrák osztályozása nehéz feladat.
127. sor:
* <math>[\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0</math>
ahol
Diagramon:
:<center>[[Fájl:Liealgebra.png]]</center>
== Források ==
* Hall, Brian C. ''Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction'', Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
* [[Karin Erdmann|Erdmann, Karin]] & Wildon, Mark. ''Introduction to Lie Algebras'', 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
* Humphreys, James E. ''Introduction to Lie Algebras and Representation Theory'', Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.
* Kac, Victor G. et al. ''Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras'', http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
* O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
* O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing,
* Steeb, W.-H. ''Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra'', second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
* Varadarajan, V. S. ''Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations'', 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
| |||