„Valós értékű függvény” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
7. sor:
== Általános definíciók ==
Legyen <math>X</math> egy tetszőleges [[halmaz]]. Jelölje <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> az összes olyan függvény halmazát, amelyeknek alaphalmaza <math>X</math> képhalmazuk pedig a [[valós számok]] halmaza <math>\mathbb{R}</math>. Mivel <math>\mathbb{R}</math> [[Test (algebra)|testet]] alkot, így <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> egy [[vektortér]]:
*<math>\ f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> – definiálható a [[vektorösszeadás]]
*<math>\ \mathbf{0}: x \mapsto 0</math> – [[egységelem|létezik additív egységelem]]
*<math>\ c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in {\mathbb R}</math> – definiálható [[skalárral való szorzás]]
*<math>\ f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> – és definiálható [[Pontonként|pontonkénti]] szorzat.
Mivel <math>\mathbb{R}</math> [[rendezett halmaz]] is, így <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> [[részbenrendezett halmaz]] vagyis:
18. sor:
<math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> egy [[részbenrendezett gyűrű]].
== Mérhetőség ==
<div style="display: none;"><nowiki>== Measurable ==▼
{{see also|Borel
[[valós számok|Valós]] [[Borel halmaz]]ok által alkotott [[σ-algebra|σ-algebrák]] fontos jelentőséggel bírnak. Ha <math>X</math>-nek létezik ilyen σ-algebrája és az <math>f</math> függvény olyan, hogy <math>f^{-1}(B)</math> elme a σ-algebrának, bármely <math>B</math> Borel halmazra, akkor <math>f</math> egy úgynevezett [[mérhető függvény]]. A mérhető függvények [[vektortér|vektorteret]] és algebrát is alkotnak, lásd [[#.C3.81ltal.C3.A1nos_defin.C3.ADci.C3.B3k|fentebb]].
{{lefordítandó}}
<!---Továbbá az <math>X</math> fölötti [[Mi van???]] Moreover, a set (family) of real-valued functions on {{mvar|X}} can actually ''define'' a σ-algebra on {{mvar|X}} generated by all preimages of all Borel sets (or of [[interval (mathematics)|intervals]] only, it is not important). This is the way how σ-algebras arise in ([[Kolmogorov's axioms|Kolmogorov's]]) [[probability theory]], where real-valued functions on the [[sample space]] {{math|Ω}} are real-valued [[random variable]]s.--->
== Folytonosság ==
A valós számok [[Topologikus tér|topologikus teret]] és [[Metrikus_tér#Teljes_metrikus_terek|teljes metrikus teret]] alkot. A [[folytonos függvény|folytonos]] valós-értékű függvények fontosak a topologikus és a metrikus terek elméletében. A [[Weierstrass-tétel]] szerint, bármely [[kompaktság|kompakt tér]]en értelmezett valós folytonos [[függvény]] felveszi globális maximumát és minimumát, vagyis léteznek [[szélsőérték|globális szélsőértékei]].
Maga a [[metrikus tér]] definíciója is egy valós-értékű úgynevezett távolságfüggvényen, a ''metrikán'' alapul, amely egy folytonos függvény. A [[kompakt Hausdorff téren értelmezett folytonos függvények]] különösen fontosak. A konvergens sorozatok szintén tekinthetőek valós-értékű folytonos függvényeknek egy speciális topologikus tér felett.
A folytonos függvények szintén vektorteret és algebrát alkotnak (lásd [[#.C3.81ltal.C3.A1nos_defin.C3.ADci.C3.B3k|fentebb]]), és a a [[mérhető függvény]]ek részhalmazát képezik, mivel bármely topologikus térnek van a nyitott (vagy zárt) részhalmazai által generált σ-algebrája.
{{main|Smooth function}}
Real numbers are used as the codomain to define smooth functions. A domain of a real smooth function can be the [[real coordinate space]] (which yields a [[real multivariable function]]), a [[topological vector space]],<ref>Different definitions of [[derivative]] exist in general, but for finite [[dimension (vector space)|dimensions]] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> an [[open subset]] of them, or a [[smooth manifold]].
| |||