„Égi mechanika” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
az egyenletek az alkalmazások elé |
|||
2. sor:
Szigorúbb értelemben véve az égitestek mozgását leíró ''dinamikus csillagászat'' területét feloszthatjuk a [[Naprendszer]] természetes [[égitest]]jeivel foglalkozó ''égi mechanikára'', a [[csillag]]ok mozgását kutató ''sztellárdinamikára'' és a [[mesterséges égitest]]ek mozgásával foglalkozó ''asztrodinamikára''; ezek között a területek között a problémák és a módszerek hasonlósága miatt nem lehet éles határokat húzni, és szokás a hármat együtt is égi mechanikának nevezni. Ebben a szócikkben is ilyen értelemben használjuk a kifejezést. Bár a [[klasszikus mechanika]] magában foglalja a testek mozgását az [[erő]]k figyelembe vétele nélkül leíró [[kinematika|kinematikát]] is, a csillagászatban ez nem az égi mechanika tárgyköre. Az égi mechanika alapvetően a klasszikus mechanika eszközeivel dolgozik, pontosabb számításokhoz azonban figyelembe kell venni a [[Relativitáselmélet|relativisztikus]] hatásokat is.
P<sub>1</sub> és P<sub>2</sub> a két tömegpontnak feltételezett test, m<sub>1</sub> és m<sub>2</sub> a testek tömege, r a közöttük lévő távolság, k a Gauss-féle gravitációs állandó, a [[vonatkoztatási rendszer]] ''0xyz'', a [[helyvektor]]ok: '''r'''<sub>1</sub> és '''r'''<sub>2</sub>:▼
: <math>m_1\mathbf\ddot{r}_1 = k^2\frac{m_1m_2}{r^2}\; \frac\mathbf{r}{r},</math>▼
: <math>m_2\mathbf\ddot{r}_2 = -k^2\frac{m_1m_2}{r^2}\; \frac\mathbf{r}{r},</math>▼
ahol '''r''' a P<sub>2</sub> tömegpont P<sub>1</sub>-hez viszonyított helyvektora:▼
: <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,</math>▼
: <math>r = |\mathbf{r}|\mathbf,</math>▼
az egyenletek felírásánál figyelembe lett véve, hogy P<sub>1</sub>-re <math>\mathbf{r}</math> irányú, P<sub>2</sub>-re -<math>\mathbf{r}</math> irányú erő hat.<ref>Érdi Bálint, Égi mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996. 34.o.</ref>▼
Newton számításai azt mutatják, hogy a mozgás egy síkban zajlik, és pályája egy [[kúpszelet]]; mégpedig a rendszer mechanikai [[energia|energiájától]] (azaz a mozgási és a helyzeti energia összegétől) függően. Ha ugyanis a mechanikai energia negatív (azaz a rendszer zárt), akkor a mozgás pályája [[ellipszis (görbe)|ellipszis]] lesz; pozitív energia (nyílt rendszer) esetén pedig [[hiperbola]]. A kettő közötti határesetben, nulla energia esetén [[parabola (görbe)|parabolapályát]] kapunk. Ellipszispályán mozognak például a bolygók, parabolapályán egyes üstökösök. Speciális esetben a mozgás pályája egyenes is lehet.▼
A kéttestprobléma levezetése kiadja a jól ismert [[Kepler-törvények]]et. Maga [[Johannes Kepler|Kepler]] ezeket a törvényeket csak empirikusan, [[Tycho Brahe]] bolygóészleléseinek elemzésével adta meg, Newton pedig a [[gravitáció|tömegvonzási törvényből]] le is vezette őket. Kepler ugyan csak az ellipszispályát ismerte fel, de törvényei könnyen általánosíthatóak más kúpszeletekre is. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a III. törvény csak közelítő jellegű, és akkor alkalmazható a Kepler által megadott formában, ha a keringő test tömege a középpontéhoz képest elhanyagolható (ami a Naprendszer összes bolygójára teljesül).▼
Mindez csak a klasszikus égi mechanikai feladatokra, például a Nap körül keringő bolygókra igaz. (Ne feledjük, hogy a kéttestprobléma idealizáció, és csak közelítésként használható!) Miként az n-test-problémánál, itt is elmondhatjuk, hogy szoros megközelítések és ütközések esetén (ilyen lehet két közel kerülő égitest, egy meteorbecsapódás vagy az űrhajók indítása és leszállása) a számítások nagyon bonyolulttá válnak.▼
A mozgás időbeli lefolyása még a kéttestprobléma esetén sem adható meg zárt alakban, azaz (a körmozgás speciális esetétől eltekintve) nincs olyan képlet, amelybe az eltelt időt behelyettesítve pontosan megkapnánk az égitest helyét és sebességét. Csak közelítő megoldások lehetségesek.▼
== Fontosabb problémái ==
42 ⟶ 68 sor:
A [[Nemzetközi Csillagászati Unió]] (''I''nternational ''A''stromomical ''U''nion, IAU) [[1938|1938-ban]] hozott egy határozatot, mely szerint a Gauss-féle gravitációs állandót kell '''állandó'''nak tekinteni, a Föld - Hold rendszer tömegközéppontja pályájának a fél nagytengelye lesz a '''változó''', ily módon a [[bolygó]]- és bolygómozgások táblázatait nem kell újra- és újra kiszámítani.
▲=== A Newton-féle mozgásegyenletek ===
▲P<sub>1</sub> és P<sub>2</sub> a két tömegpontnak feltételezett test, m<sub>1</sub> és m<sub>2</sub> a testek tömege, r a közöttük lévő távolság, k a Gauss-féle gravitációs állandó, a [[vonatkoztatási rendszer]] ''0xyz'', a [[helyvektor]]ok: '''r'''<sub>1</sub> és '''r'''<sub>2</sub>:
▲: <math>m_1\mathbf\ddot{r}_1 = k^2\frac{m_1m_2}{r^2}\; \frac\mathbf{r}{r},</math>
▲: <math>m_2\mathbf\ddot{r}_2 = -k^2\frac{m_1m_2}{r^2}\; \frac\mathbf{r}{r},</math>
▲ahol '''r''' a P<sub>2</sub> tömegpont P<sub>1</sub>-hez viszonyított helyvektora:
▲: <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,</math>
▲: <math>r = |\mathbf{r}|\mathbf,</math>
▲az egyenletek felírásánál figyelembe lett véve, hogy P<sub>1</sub>-re <math>\mathbf{r}</math> irányú, P<sub>2</sub>-re -<math>\mathbf{r}</math> irányú erő hat.<ref>Érdi Bálint, Égi mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996. 34.o.</ref>
▲==== A pálya alakja és a Kepler-törvények ====
▲Newton számításai azt mutatják, hogy a mozgás egy síkban zajlik, és pályája egy [[kúpszelet]]; mégpedig a rendszer mechanikai [[energia|energiájától]] (azaz a mozgási és a helyzeti energia összegétől) függően. Ha ugyanis a mechanikai energia negatív (azaz a rendszer zárt), akkor a mozgás pályája [[ellipszis (görbe)|ellipszis]] lesz; pozitív energia (nyílt rendszer) esetén pedig [[hiperbola]]. A kettő közötti határesetben, nulla energia esetén [[parabola (görbe)|parabolapályát]] kapunk. Ellipszispályán mozognak például a bolygók, parabolapályán egyes üstökösök. Speciális esetben a mozgás pályája egyenes is lehet.
▲A kéttestprobléma levezetése kiadja a jól ismert [[Kepler-törvények]]et. Maga [[Johannes Kepler|Kepler]] ezeket a törvényeket csak empirikusan, [[Tycho Brahe]] bolygóészleléseinek elemzésével adta meg, Newton pedig a [[gravitáció|tömegvonzási törvényből]] le is vezette őket. Kepler ugyan csak az ellipszispályát ismerte fel, de törvényei könnyen általánosíthatóak más kúpszeletekre is. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a III. törvény csak közelítő jellegű, és akkor alkalmazható a Kepler által megadott formában, ha a keringő test tömege a középpontéhoz képest elhanyagolható (ami a Naprendszer összes bolygójára teljesül).
▲Mindez csak a klasszikus égi mechanikai feladatokra, például a Nap körül keringő bolygókra igaz. (Ne feledjük, hogy a kéttestprobléma idealizáció, és csak közelítésként használható!) Miként az n-test-problémánál, itt is elmondhatjuk, hogy szoros megközelítések és ütközések esetén (ilyen lehet két közel kerülő égitest, egy meteorbecsapódás vagy az űrhajók indítása és leszállása) a számítások nagyon bonyolulttá válnak.
▲==== A mozgás időbeli lefolyása ====
▲A mozgás időbeli lefolyása még a kéttestprobléma esetén sem adható meg zárt alakban, azaz (a körmozgás speciális esetétől eltekintve) nincs olyan képlet, amelybe az eltelt időt behelyettesítve pontosan megkapnánk az égitest helyét és sebességét. Csak közelítő megoldások lehetségesek.
Az eddigiekben a testek tömegét állandónak tekintettük, ami a Naprendszer nagy égitestjei esetén igaz is. A ''változó tömegű kéttestprobléma'' például [[kettőscsillag]]oknál merülhet fel, amelyek anyagot cserélhetnek egymással vagy a környezetükkel. Hasonló problémát tapasztalunk a rakétamozgásnál is.
| |||