„Hiperbolikus geometria” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
Jmiki (vitalap | szerkesztései)
→‎Elemei: Szöveg egyértelműbbé tétele.
Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés
78. sor:
===Egyenesek===
[[File:Ultraparallel.png|thumb|right|200px|Egy kék egyenes, egy pont és a hozzájuk tartozó elpattanó egyenespár]]
A hiperbolikus axióma szerint egy adott egyeneshez egy rajta nem fekvő ponton át több egyenes is átmegy, ami az adott egyenest nem metszi. Ezek az egyenesek két szögtartományt alkotnak, amiket az elpattanó egyenesek határolnak. A hiperbolikus síkban az egyenesek kölcsönös viszonya többféle lehet, mint az euklideszi geometriában, mivel kétféle párhuzamosság létezik. Helyesebb azonban irányított egyenesek elpattanásáról beszélni, mivel csak az egyik irányba pattannak el egymástól. AzEkkor az elpattanó tulajdonság szimmetrikus, reflexív és tranzitív, az ultrapárhuzamosság azonban nemígy sem tranzitív.
 
Legyen most adva az ''e'' irányított egyenes a rajta kívül fekvő ''P'' ponttal! Jelölje a ''P''-ből az ''e''-re állított merőleges talppontját ''Q'', a ''P''-n átmenő, az adott irányhoz tartozó ''e''-től elpattanó egyenest ''e''<sub>''a''</sub>, és az ''e'' és ''e''<sub>''a''</sub> által bezárt szöget α! Ha még a ''PQ'' párhuzamossági távolság ''d'', akkor α a ''d'' távolsághoz tartozó párhuzamossági szög. Belátható, hogy ez a szög csak az egyenes és a rajta kívül fekvő pont távolságától függ, csak hegyesszög lehet, és értéke tetszőlegesen megközelítheti a nullát. Megmutatható, hogy a párhuzamossági távolság és a párhuzamossági szög kapcsolata kölcsönösen egyértelmű. Nagy távolságokra a párhuzamossági szög kicsi.
141. sor:
 
Mivel a hiperbolikus síkon nincs téglalap, itt a két definíció már nem lesz ekvivalens, hanem különböző koordináta-rendszerekhez vezet. Az origó ''k'' nagyságrendű környezetében ez ugyan csak kisebb pontatlanságokat jelent, de bizonyos koordináta-párok hiányozni fognak az első definíció szerinti koordináta-rendszerből, mivel a megfelelő egyenesek ultrapárhuzamosok lesznek. Ez nagy számokra lesz így.<!--Milyen nagyságrend lehet ez?--> A második definíció által adott rendszerben azok a pontok, amiknek a második koordinátája megegyezik, hiperciklust adnak. A távolsággal olyan koordináta-rendszer is megadható, ahol a koordinátavonalak hiperciklusok, és ha különböznek a tengelytől, akkor nem egyenesek.
 
==Alkalmazása==
Alkalmazzák a görbült terek elméletében és a fizikában, mint a tér lehetséges alakját. Már maga Bolyai János is elgondolkodott azon, hogy vajon melyik geometria írja le jobban a fizikai teret. Ha a ''k'' paraméter elég nagy, akkor a mérési pontatlanságok miatt nem lehet eldönteni, hogy melyik geometria valósul meg; ezért akár egy megfelelően paraméterezett hiperbolikus geometria is megfelel.