„Affin kombináció” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a clean up with AWB
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
{{forma}}
 
Az '''affin kombináció''' és a rá épülő [[affin koordináták]] fogalma a [[matematika|matematikában]] elsősorban az [[euklideszi geometria]] egyik ága, az [[affin geometria]] algebrai leírására szolgálnak, noha maga a fogalom a [[lineáris algebra]] részeként is tárgyalható (újabban meg is teszik).
 
Az affin geometriának két alapvető ágát vagy paradigmáját különböztethetjük meg.
* A (kontinuum)-[[geometria]]i vonal: tárgyalható a hagyományos euklideszi geometria részeként, ekkor úgy jelenik meg, mint az ''[[affin transzformáció|egyenestartó transzformációk]]'' elmélete – e leképezések minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek.
* A diszkrét matematikai-[[kombinatorika]]i vonal: a [[véges halmaz|véges]] (véges sok pontot tartalmazó) affin geometria és általában a [[véges geometria]] pedig a kombinatorika egyik ága.
15 ⟶ 17 sor:
 
Ekkor adott
*<math> \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},\cdots, \alpha _{n} \right) \in T^{n} </math> skalárrendszer és
* <math> \left( a_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( a_{1} , a_{2},\cdots, a_{n} \right) \in V^{n} </math> vektorrendszer esetén, (ahol <math>n \in \mathbb{N} </math>), a
 
29 ⟶ 31 sor:
A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt:
 
<u>Definíció</u>: Legyenek adottak a <math> \left( P_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( P_{1} , P_{2},\cdots, P_{n} \right) \in E^{n} </math> pontok. E pontok <math> \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 </math> tulajdonságot kielégítő, <math> \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},\cdots, \alpha _{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} </math>, skalárokkal képezett '''affin kombináció'''ja az a <math> Q \in \mathbb{E} </math> pont, amelynek <math>\underline{q}</math> helyvektorára teljesül:
<center><math>\underline{q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot \underline{p}_{i}} = \alpha_{1} \underline{p}_{1} + \alpha_{2} \underline{p}_{2} + \cdots +\alpha_{n} \underline{p}_{n} </math></center>
 
Azaz melyre <br>
<center><math> \vec{O\!Q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot \vec{O\!P}_{i}} = \alpha_{1} \vec{O\!P}_{1} + \alpha_{2} \vec{O\!P}_{2} + \cdots +\alpha_{n} \vec{O\!P}_{n} </math></center>
<br> teljesül.
 
57 ⟶ 59 sor:
=== Két pont affin kombinációi ===
 
Tekintsük az <math> \mathbb{S} </math> síkban az <math> \underline{a}, \underline{b} </math> helyvektorokkal adott különböző <math> A,B \in \mathbb{S} </math> pontokat, ekkor, minthogy érvényes <math> \underline{a} + \vec{A\!B} = \underline{b}</math>, írható <math> \vec{AB}=\underline{b} - \underline{a} </math>. Mármost a vektor számmal való szorzásának definíciója szerint, ha <A,B> jelöli az A,B pontokon átmenő egyenest, akkor <math> P \in <A,B> \Leftrightarrow \vec{A\!P} = \lambda \vec{A \! B} </math> valamilyen <math> \lambda \in \mathbb{R} </math> valós számmal, azaz <br>
<br>
<center> <math> \vec{A\!P} = \lambda \left( \underline{b} - \underline{a} \right) </math></center>.<br>
Így adható meg az összes, <A,B> egyenesen fekvő P pont helyzete az A-hoz viszonyítva, hogy alkalmazkodjunk az érvényes koordináta-rendszerhez és megkapjuk a P pontok helyvektorait, azt kell megnéznünk, hogyan juthatunk az origóból P-be, nos úgy, hogy először elmegyünk az A pontba (a <math> \underline{a} </math> vektorral elmozdulva), és aztán az A-ból a P-be (hozzáadjuk az eddigi elmozduláshoz még a <math> \vec{A\!P} </math> vektort). Összesen tehát <br>
:<math> \underline{p} = \underline{a} + \vec{A\!P} = \underline{a} + \lambda \left( \underline{b} - \underline{a} \right) = \underline{a} + \lambda \underline{b} - \lambda \underline{a} = \left( 1- \lambda \right) \underline{a} + \lambda \underline{b} </math>.
 
Ezzel beláttuk a következőt: '''egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen''', ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 (<math> \left( 1-\lambda \right) + \lambda = 1 </math>), tehát '''ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként'''.
69 ⟶ 71 sor:
Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges <math> n \in \mathbb{N}</math> véges n-dimenziós <math> \mathbb{E}^{n} </math> euklideszi térre.
 
Legyenek adva az <math> A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{n+1} </math> pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen <math> A_{k} </math>, ahol <math> k \in \mathbb{N} </math> és <math> 1 \le k \le n+1 </math> - az <math> \underline{a} _{1} = \vec{A_{k}\!A_{1}}, \underline{a} _{2} = \vec{A_{k}\!A_{2}}, \cdots , \underline{a} _{n} = \vec{A_{k}\!A_{n}}, \underline{a} _{n+1} = \vec{A_{k}\!A_{n+1}} </math> helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db.darab vektor lesz, de mivel az egyik épp a <math> \underline{0} = \underline{a}_{k} = \vec{A_{k}\!A_{k}} </math> nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).
 
Tegyük fel, hogy e pontok – értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve – [[lineáris függetlenség|lineárisan függetlenek]], azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n-dimenziós, vagyis épp <math> \mathbb{E}^{n} </math> (ugyanis n-dimenziós térnek nincs valódi n-dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden <math> P \in \mathbb{E}^{n} </math> pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy <math> \underline{a}_{k} = \underline {0} </math>nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez, <math> \alpha_{k}=0 </math> nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):
 
<center><math> \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + \cdots +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}} </math> </center>
 
Azaz
 
<center><math> \underline{p} - \underline{a}_{k} = \alpha_{1} \left( \underline{a}_{1} - \underline{a}_{k} \right) + \alpha_{2} \left( \underline{a}_{2} - \underline{a}_{k} \right)+ \cdots +\alpha_{n} \left( \underline{a}_{n} - \underline{a}_{k} \right) +\alpha_{n+1} \left( \underline{a}_{n+1} - \underline{a}_{k} \right) = </math><br>
<br>
<math> = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \sum_{i=1}^{n+1} { \alpha_{i} \underline{a}_{k} } = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \underline{a}_{k} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} </math></center><br>
83 ⟶ 85 sor:
Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez <math> \underline{a}_k </math>-t, <br>
<br>
<center><math> \underline{p} = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \underline{a}_{k} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} + \underline{a}_k = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } + \left( 1- \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} \right) \underline{a}_{k} </math></center><br>
<br>
Ez utóbbi pedig az n-dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az <math> \underline{a}_{i} </math> vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy <math> \alpha_{k}=0 </math> legyen).