„Affin kombináció” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a clean up with AWB |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
{{forma}}
Az '''affin kombináció''' és a rá épülő [[affin koordináták]] fogalma a [[matematika|matematikában]] elsősorban az [[euklideszi geometria]] egyik ága, az [[affin geometria]] algebrai leírására szolgálnak, noha maga a fogalom a [[lineáris algebra]] részeként is tárgyalható (újabban meg is teszik).
Az affin geometriának két alapvető ágát vagy paradigmáját különböztethetjük meg.
* A (kontinuum)-[[geometria]]i vonal: tárgyalható a hagyományos euklideszi geometria részeként, ekkor úgy jelenik meg, mint az ''[[affin transzformáció|egyenestartó transzformációk]]'' elmélete – e leképezések minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek.
* A diszkrét matematikai-[[kombinatorika]]i vonal: a [[véges halmaz|véges]] (véges sok pontot tartalmazó) affin geometria és általában a [[véges geometria]] pedig a kombinatorika egyik ága.
15 ⟶ 17 sor:
Ekkor adott
*<math> \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)}
* <math> \left( a_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( a_{1} , a_{2},\cdots, a_{n} \right) \in V^{n} </math> vektorrendszer esetén, (ahol <math>n \in \mathbb{N} </math>), a
29 ⟶ 31 sor:
A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt:
<u>Definíció</u>: Legyenek adottak a <math> \left( P_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( P_{1} , P_{2},\cdots, P_{n} \right) \in E^{n} </math>
<center><math>\underline{q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot
Azaz melyre <br>
<center><math> \vec{O\!Q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot
<br> teljesül.
57 ⟶ 59 sor:
=== Két pont affin kombinációi ===
Tekintsük az <math> \mathbb{S} </math> síkban az <math> \underline{a}, \underline{b} </math> helyvektorokkal adott különböző <math> A,B \in \mathbb{S} </math> pontokat, ekkor, minthogy érvényes <math> \underline{a} + \vec{A\!B} = \underline{b}</math>, írható <math> \vec{AB}=\underline{b} - \underline{a} </math>.
<br>
<center> <math> \vec{A\!P} = \lambda \left( \underline{b} - \underline{a} \right) </math></center>.<br>
Így adható meg az összes,
:<math> \underline{p} = \underline{a} + \vec{A\!P} = \underline{a} + \lambda \left(
Ezzel beláttuk a következőt: '''egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen''', ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 (<math> \left( 1-\lambda \right) + \lambda = 1 </math>), tehát '''ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként'''.
69 ⟶ 71 sor:
Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges <math> n \in \mathbb{N}</math> véges n-dimenziós <math> \mathbb{E}^{n} </math> euklideszi térre.
Legyenek adva az <math> A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{n+1} </math> pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen <math> A_{k} </math>, ahol <math> k \in \mathbb{N} </math> és <math> 1 \le k \le n+1 </math> - az
Tegyük fel, hogy e pontok
<center><math> \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + \cdots +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}}
Azaz
<center><math> \underline{p} - \underline{a}_{k} = \alpha_{1} \left( \underline{a}_{1} - \underline{a}_{k} \right) + \alpha_{2} \left( \underline{a}_{2} - \underline{a}_{k} \right)+ \cdots +\alpha_{n} \left( \underline{a}_{n} - \underline{a}_{k} \right) +\alpha_{n+1} \left( \underline{a}_{n+1} - \underline{a}_{k} \right)
<br>
<math> = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \sum_{i=1}^{n+1} { \alpha_{i} \underline{a}_{k} } = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \underline{a}_{k} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} </math></center><br>
83 ⟶ 85 sor:
Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez <math> \underline{a}_k </math>-t, <br>
<br>
<center><math>
<br>
Ez utóbbi pedig az n-dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az <math> \underline{a}_{i} </math> vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy <math> \alpha_{k}=0 </math> legyen).
|