„Operátornorma” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
a (Bot: 11 interwiki link migrálva a Wikidata d:q980557 adatába)
Nincs szerkesztési összefoglaló
A [[matematika|matematikában]] '''operátornormának''' adott [[normált tér|normált terek]] között ható [[lineáris leképezés]]ek terén megadott [[norma (matematika)|normát]] értik. Az operátorok tere [[algebra (struktúra)|algebra]] a leképezések [[függvénykompozíció|kompozíciójával]] mint szorzással ellátva, és két operátor kompozíciójának normája felülbecsülhető a normáik szorzatával ezért a lineáris leképezések tere az operátornormával ellátva ''normált algebrát'' alkot.
 
Az operátornorma csak olyan normált terek között ható lineáris leképezésekre értelmes, amelyek folytonosak, ezért olyan terekben, ahol vannak nem folytonos (ún. nem korlátos) operátorok, nem vezethető be a norma az egész térre vonatkozólag.
 
== Bevezetés és definíció ==
Adott két [[normált tér|normált vektortér]] ''V'' és ''W'' (ugyanazon [[test (matematika)|test]] felett, amely vagy a [[valós számok]] '''R''' vagy a [[komplex számok]] '''C''' halmaza). Egy ''A'' : ''V'' → ''W'' lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos, ha létezik egy ''c'' valós szám, amelyre:
: <math>\|Av\| \le c \|v\| \quad \forall v\in V</math>
(a bal oldali norma a ''W'', a jobb oldali norma a ''V'' vektortérben értendő).
 
Szemléletesen szólva a folytonos operátor egy vektort sem nyújt meg a ''c'' konstansnál nagyobb mértékben. Ezért korlátos halmaz folytonos képe szintén korlátos. Ezért is nevezik a folytonos lineáris operátorokat korlátos operátoroknak is. Ekkor az ''A'' operátor méréséhez adódik, hogy legyen a legkisebb olyan ''c'', amelyre fennáll a fenti egyenlőtlenség minden ''V'' -beli ''v'' vektorra. Más szóval az operátort úgy mérhetjük, hogy megadjuk, legfeljebb hányszorosára nyújt meg tetszőleges vektort. Folytonos oprátorokraoperátorokra tehát értelmes a következő definíció:
: <math>\|A\|_{\mathrm{op}} = \inf\{c\in[0,+\infty) \mid (\forall v\in V) (\;\|Av\| \le c \|v\|\;)\}</math>
mely valóban teljesíti a normák tulajdonságait és amit operátornormának nevezünk. Az infimum (alsó határ) helyett minimum is írható, mert az összes ilyen ''c'' halmaza [[zárt halmaz|zárt]], nem [[üres halmaz|üres]] és alulról [[korlátos halmaz|korlátos]]. A definíció átfogalmazható úgy, hogy elegendő legyen csak a leképezés egységsugarú gömbökön felvett képeinek normáira hivatkoznunk:
(egy ilyen tekinthető az '''C'''<sup>''n''</sup> euklideszi tér végtelen dimenziós megfelelőjének is.)
 
Annak az érdekében, hogy egy <math>l</math><sup>2</sup><math>\to</math><math>l</math><sup>2</sup> korlátos lineáris leképezést és ennek operátornormáját lássuk vegyünk egy korlátos ''s'' = (''s<sub>n</sub> '') sorozatot (persze minden négyzetesen abszolút szummálható sorozat korlátos, de fordítva már nem igaz). ''s''-et az korlátos sorozatok (<math>l</math><sup>2</sup>,||.||<sub>∞</sub>) normált teréből vettük, ahol
:<math>\| s \|_{\infty} = \sup _n |s_n| .</math>
a szuprémumnorma.
# <math>\|A\|_{op} = 0 \Leftrightarrow A = 0 </math>
# <math>\|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op} \quad\forall a \in \mathbb{K},</math> ahol <math>\mathbb{K} \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C} \}</math>
# <math>\|A + B\|_{op} \le \|A\|_{op} + \|B\|_{op}</math> (háromszögegyenlőtlenségháromszög-egyenlőtlenség)
 
Az alábbi egyenlőtlenség a definíció közvetlen következménye:
:<math>\|Av\| \le \|A\|_{op} \|v\| \quad\forall v\in V .</math>
 
Az operátornorma kompatibilis a [[függvénykompozíció|kompozíció]] és a szorzás műveletekre: ha ''V'', ''W'' és ''X'' három, azonos test feletti normált vektortér és ''A'' : ''V'' → ''W'', ''B'': ''W'' → ''X'' két korlátos operátor, akkor
:<math>\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op} .</math>
 
 
:<math>\rho(N) = \|N\|_{op}.</math>
 
The spectral theorem can be extended to [[normal operator]]s in general. Therefore the above equality holds for any bounded normal operator ''N''. This formula can sometimes be used to compute the operator norm of a given bounded operator ''A'': define the [[Hermitian operator]] ''H'' = ''A<sup>*</sup>A'', determine its spectral radius, and take the [[square root of a matrix|square root]] to obtain the operator norm of ''A''.
 
Then each ''P<sub>t</sub>'' is a bounded operator with operator norm 1 and
 
:<math>\| P_t - P_s \|_{op} = 1, \quad \mbox{for all} \quad t \neq s .</math>
 
But {''P<sub>t</sub>''} is an uncountable set. This implies the space of bounded operators on ''L''<sup>2</sup>[0,1] is not separable, in operator norm. One can compare this with the fact that the sequence space ''l'' <sup>∞</sup> is not separable.