Wikipédia

„Cramer-szabály” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Javítás
Címke: HTML-sortörés
3. sor:
 
== A szabály ==
Tekintsük a következő ''n'' darab ''n''-ismeretlenes [[lineáris egyenletrendszeregyenlet]]tből álló egyenletrendszert:
 
:<math>\begin{matrix}
29. sor:
 
 
Ha most ''AB<sub>i</sub>''-vel jelöljük azokat aaz ''A''-ból képzett mátrixokat, melyek ''i''. oszlopa helyén a ''b'' vektor áll, azaz
 
:<math>A_iB_i = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,n} \\
43. sor:
akkor
 
:<math>x_i = \frac{\det(A_iB_i)}{\det(A)}</math> minden ''i'' esetén (ahol 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}. Itt a <math>\det</math> a [[determináns]]képzést jelöli.
 
:
== Bizonyítása ==
: Ha <math>\det(A)</math>=0, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása!
Mivel ''Ax'' = ''b'', és det(''A'') ≠ 0, ezért ''A'' [[invertálható mátrix]]. Ekkor
:<math> x = A^{-1}b = \frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)b \,,</math>
ahol az adj(''A'') az ''A'' mátrix [[adjungált (mátrixinvertálás)|adjungáltját]] jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy
:<math> \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}
= {1 \over {\det(A)}}
\begin{pmatrix}
{A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\
{A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,,</math>
ahol az ''A<sub>ij</sub>'' az ''A'' mátrix ''i''-edik sorához és ''j''-edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden ''i''-re
:<math>x_i = \frac{\det(A_{1i})b_1 + \det(A_{2i})b_2 + \cdots + \det(A_{ni})b_n}{\det(A)}\,,</math>
és a tört számlálójában éppen a ''B<sub>i</sub>'' [[determináns]]a szerepel az ''i''. oszlopa szerint [[kifejtési tétel|kifejtve]].
 
== Példa ==
72 ⟶ 87 sor:
 
== Megjegyzések ==
* A megoldhatóság esetei:
* Ha <math>\det(A)</math>=0, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása.
{| {{széptáblázat}}
* Ha az egyenletrendszer [[homogén (matematika)|homogén]], azaz a ''b'' a [[nullvektor]]ral azonos, akkor minden ''x<sub>i</sub>'' éppen 0 lesz, így a nem-nulla megoldásokat nem kapjuk meg.
! !! Ha det(''A'') = 0 !! Ha det(''A'') ≠ 0
|-
| style="background-color:#F0F0F0;font-weight:bold;text-align:center;" | Ha <math>b = \vec{0} \,,</math> azaz az egyenletrendszer<br /> [[homogén (matematika)|homogén]] || Az <math> x = \vec{0} </math> triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például a [[LU felbontás]] || Egy triviális megoldás van, az <math> x = \vec{0} \,;</math><br /> a Cramer-szabály használható, de felesleges
|-
| style="background-color:#F0F0F0;font-weight:bold;text-align:center;" | Ha <math>b \neq \vec{0} \,,</math> azaz az egyenletrendszer<br /> inhomogén || Az egyenletrendszernek nincs megoldása, és a Cramer-szabály nem használható || Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható
|}
* Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.
* Nagy ''n''-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.
 
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Cramer-szabály”