„Stirling-formula” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A '''
Eszerint
<center><math>n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math></center>
ahol ''e'' a [[Euler-féle szám|természetes logaritmus alapja]] a <math>\sim </math> jel pedig azt jelenti, hogy a két oldal [[
A Stirling-formulának ott van nagy jelentősége, ahol sokszor kell nagy binomiális együtthatókra jó becsléseket adni, tehát a [[valószínűség-számítás]]ban, de a matematika szinte minden ágában felhasználják. A formula igaz a [[gamma-függvény]]re is:
12. sor:
== Története ==
[[James Stirling (matematikus)|James Stirling]] skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a <math>\log 1 + \log 2 + \cdots + \log n = \log n!\,\!</math> kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol ''log'' a [[
<center><math>\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log \left( {n + \frac{1}{2}} \right) - \left( {n + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) - \frac{1}{{24\left( {n + \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{7}{{2880\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^3 }} - \cdots </math></center>
A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag <math>k \ge 1</math> esetén a
<center><math>\frac{{\left( {2^{1 - 2k} - 1} \right)B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^{2k - 1} }},</math></center>
28. sor:
<center><math>\frac{{B_{2k} }}{{2k\left( {2k - 1} \right)n^{2k - 1} }}.</math></center>
A képletben látható <math>\frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right)</math> tag a történet szerint Stirling érdeme volt, ezért az első összefüggéssel ellentétben De Moivre képlete vált ismerté Stirling-formula (vagy Stirling
== Bizonyítás ==
50. sor:
:<math> = \log z + \int_0^\infty {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }}} \right)e^{ - zt} dt} .</math>
Az utolsó lépésben a zárójelben lévő függvény
<center><math>\frac{1}{t} - \frac{1}{{1 - e^{ - t} }} = - \frac{1}{2} - \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{B_{2k} }}{{\left( {2k} \right)!}}t^{2k - 1} },</math></center>
141. sor:
::<math>\log n! \approx n \log n - n \,</math>
minden elég nagy természetes ''n'' számra, ahol ''log'' a [[
== Lásd még ==
153. sor:
;Számológépek a faktoriálishoz
* [http://www.luschny.de/math/factorial/fffcalc.html Számológépek a faktoriálishoz]
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Analitikus számelmélet]]
| |||