„L’Hôpital-szabály” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
9. sor:
:<math>\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0</math>
Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}</math>
határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz [[Taylor-sor]] formájában, így hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.
:<math>f(x)=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}-1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{2k+1}(-1)^{k}}{(2k+1)!}
16. sor:
Rögzített ''x'' szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük ''x''-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:
:<math>\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1}=1}</math>
Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak
==Az egyszerű L’Hospital-szabály==
39. sor:
==Erős L’Hospital-szabály==
'''Tétel''' – ''Erős L’Hospital-szabály'' – Ha <math>I</math> nyílt intervallum, ''u'' az <math>I</math> torlódási pontja, az ''f'' és ''g'' függvények <math>I</math> \ {''u''}-n értelmezett ''n+1''-szer differenciálható függvények, g<sup>(n+1)</sup> nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,…,n számra lim<sub>u</sub>f <sup>(k)</sup> = lim<sub>u</sub>g<sup>(k)</sup> = 0, továbbá létezik a <math>\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}}</math>, akkor létezik az alábbi határérték és a következővel egyenlő:
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}</math>
{{Portál|Matematika}}
{{DEFAULTSORT:Lhospital}}
| |||