„Átló” változatai közötti eltérés

46 bájt törölve ,  5 évvel ezelőtt
nincs szerkesztési összefoglaló
a (==Lásd még== → ==Kapcsolódó szócikkek==, egyéb apróság AWB)
A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[Mátrixmátrix (matematika)|mátrixoknál]] is.
== Sokszögek ==
 
Egy [[sokszög]]re nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő [[szakasz (geometria)|szakasz]]. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy [[konvex]] sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a [[konkáv]] sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
 
Egy ''n'' oldalú sokszögnek ''d'' számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsbólcsúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
 
::(''n'' − 3) × ''n'',
 
viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:
 
:<math>d= \frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\, </math>
=== Hossza ===
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható:
 
* A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
:<math>\begin{align}
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math>
 
* Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot s_i \cdot \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left( \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot s_i \cdot \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}</math>
=== Speciális esetek ===
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
* Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math>
és
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
: <math>d = 2 a</math>.
 
== Poliéderek ==
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]]
=== A testátlók száma ===
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L \frac{N_i(N_i-3)}{2}</math>,
.ahol ''C'' a csúcsok száma, ''E'' az éleké, ''L'' a lapoké, és az ''i''-edik lap éleinek száma ''N''<sub>''i''</sub>
 
Például a [[paralelepipedon|paral(l)elepipedonokra]]okra:
: <math>C = 8 , \quad L = 6 , \quad E = 12 , \quad N_i = 4 \quad \forall i</math>:
 
:<math>Z = \frac{8 (8-1)}{2} - 12- \sum_{i=1}^6 \frac{4(4-3)}{2}</math>
 
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math>
* [[Diagonális mátrix]]
* [[Tridiagonális mátrix]]
 
== Források ==
* Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás