„Félcsoport” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A matematikában az [[asszociatív]] [[grupoid]]okat '''félcsoportoknak''' nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes <math>(
==Definíció==
Legyen <math>(
Tetszőleges <math>(
Egy <math>(A; * )</math> félcsoport részfélcsoportján az <math>A</math> halmaz olyan nem üres <math>B</math> részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport a <math>*</math> műveletre nézve, azaz tetszőleges <math>b_1, b_2\in B</math> elemek esetén <math>b_1*b_2\in B</math>.▼
Egy <math>(
▲Tetszőleges <math>(A; * )</math> félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a <math>*</math> művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.
▲Egy <math>(A; * )</math> félcsoport tetszőleges <math>a</math> eleme esetén az <math>a*a</math> elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) <math>2a</math>, vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) <math>a^2</math> módon.
Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: <math>a \cdot b</math> helyett <math>ab</math>-t írunk. Additív írásmód esetén az <math>n</math>-tagú <math>a+\cdots +a</math> összeget <math>na</math>, multiplikatív írásmód esetén az <math>n</math>-tényezős <math>a\cdots a</math> szorzatot <math>a^n</math> módon jelöljük; itt <math>n</math> pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges <math>a</math> és <math>b</math> elemeire és tetszőleges <math>n, m</math> pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.
23 ⟶ 21 sor:
A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.
==Részfélcsoport, ideál==
▲Egy <math>
Egy <math>
Minden <math>S</math> félcsoportnak <math>S</math> egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha <math>S</math>-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az <math>S</math> félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.
==Kitüntetett elemek félcsoportban==
Egy <math>
Egy <math>
Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.
Egy <math>A</math> félcsoport <math>e</math> elemét idempotens elemnek nevezzük, ha <math>e^2=e</math>. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elem. Egy olyan félcsoportot, melynek minden eleme idempotens elem [[köteg]]nek nevezünk. Egy kommutatív köteget [[félháló]]nak nevezünk.▼
Egy <math>
▲Egy
▲Egy <math>A</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in A</math> elem inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás inverzei).
Könnyen ellenőrizhető, hogy ha <math>a</math> egy <math>A</math> félcsoport reguláris eleme úgy, hogy <math>axa=a</math>, akkor <math>a</math> és <math>xax</math> egymás inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy inverze van, akkor a félcsoportot [[inverz félcsoport]]nak nevezzük.▼
Egy <math>S</math> félcsoport <math>a</math> elemét a félcsoport reguláris elemének nevezzük, ha van <math>S</math>-nek olyan <math>x</math> eleme, melyre <math>axa=a</math> teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem [[reguláris félcsoport]]nak nevezünk.
Egy <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in S</math> elem Neumann-féle inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás inverzei).
▲Könnyen ellenőrizhető, hogy ha <math>a</math> egy <math>
==Példák félcsoportokra==
40 ⟶ 48 sor:
*A [[természetes számok]] halmaza a szorzás művelettel.
*Tetszőleges <math>L</math> nem üres halmaz az <math>a*b:=a</math> (<math>a, b\in L</math>) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). <math>L</math> minden eleme idempotens elem, tehát <math>L</math> egy köteg.
*Tetszőleges <math>R</math> nem üres halmaz az <math>a*b:=b</math> (<math>a, b\in R</math>) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). <math>R</math> minden eleme idempotens elem, tehát <math>R</math> egy köteg.
*Tetszőleges <math>X</math> és <math>Y</math> nem üres halmazok esetén az <math>X\times Y</math> Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve <math>(x_1, y_1)(x_2, y_2)=(x_1, y_2)</math>. Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot [[derékszögű köteg]]nek nevezzük.
*Tetszőleges nem üres <math>X</math> halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) <math>T_X</math> halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az <math>X</math> halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.
==Tulajdonságok==
*Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
*
*Egy <math>S</math> félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges <math>a, b\in S</math> elemekhez megadhatók olan <math>x, y\in S</math> elemek, melyekre <math>ax=b</math> és <math>ya=b</math> teljesülnek.
*Minden félcsoportnak legfeljebb egy nullelem lehet. Továbbá, ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.▼
*
*Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy <math>S</math> félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy <math>e</math> jobb oldali egységeleme és <math>S</math> minden <math>a</math> elemének van <math>e</math>-re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan <math>b\in S</math> elem, melyre <math>ab=e</math> teljesül.
▲*
*Ha <math>a</math> egy <math>S</math> félcsoport reguláris eleme úgy, hogy <math>axa=a</math> teljesül valmely <math>x\in S</math> elemre, akkor az <math>ax</math> és <math>xa</math> elemek a félcsoport idempotens elemei.
*Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz <math>ef=fe</math> teljesül a félcsoport tetszőleges <math>e</math> és <math>f</math> idempotens elemeire.
*Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges <math>a</math> és <math>b</math> elemeire <math>aba=a</math> teljesül.
*Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a [[direkt szorzat]]ával.
*Egy <math>S</math> félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőlege <math>a\in S</math> elem esetén <math>Sa=S</math> (<math>aS=S</math>, <math>SaS=S</math>) teljesül.
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Monoid]]ok
| |||