„Félcsoport” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
Egy <math>S</math> félcsoport részfélcsoportján az <math>S</math> halmaz olyan nem üres <math>B</math> részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az <math>S</math>-beli műveletre nézve, azaz tetszőleges <math>b_1, b_2\in B</math> elemek esetén <math>b_1b_2\in B</math>.
 
Egy <math>S</math> félcsoport <math>B</math> részfélcsoportját az <math>S</math> egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges <math>s\in S</math> és <math>b\in B</math> elemekre <math>sb\in B</math> (<math>bs\in B</math>) teljesül. Ha <math>B</math> az <math>S</math> bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor <math>B</math>-tről azt mondjuk, hogy az <math>S</math> egy ideáljának nevezzükideálja.
Minden <math>S</math> félcsoportnak <math>S</math> egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha <math>S</math>-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az <math>S</math> félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.
 
==Kitüntetett elemek félcsoportban==
EgyAzt mondjuk, hogy egy <math>S</math> félcsoport <math>e</math> elemételeme a félcsoport bal (jobb) oldali egységelemének nevezzükegységeleme, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>ea=a</math> (<math>ae=a</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot [[monoid]]nak nevezünk.
 
EgyAkkor mondjuk, hogy egy <math>e</math> egységelemes <math>S</math> félcsoport <math>b</math> elemételeme egy <math>a\in S</math> elem bal (jobb) oldali inverzének nevezzükinverze, ha <math>ba=e</math> (<math>ab=e</math>). A <math>b</math> elemet az <math>a</math> elem inverzének nevezzük, ha <math>b</math> az <math>a</math>-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.
 
Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze csoportnak nevezünk.
 
Egy <math>S</math> félcsoport <math>0</math> elemételeméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nullelemének nevezzüknulleleme, ha tetszőleges <math>a\in S</math> elemre <math>0a=0</math> (<math>a0=0</math>) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.
 
Egy félcsoport <math>e</math> elemét idempotens elemnek nevezzük, ha <math>e^2=e</math>. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemelemek. Egy[[Köteg]]en olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem [[köteg]]nek nevezünk. Egy kommutatív köteget [[félháló]]nak nevezünk.
 
Egy <math>S</math> félcsoport <math>a</math> elemételeméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris elemének nevezzükeleme, ha van <math>S</math>-nek olyan <math>x</math> eleme, melyre <math>axa=a</math> teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem [[reguláris félcsoport]]nak nevezünk.
 
Egy <math>S</math> félcsoport <math>b</math> eleméről azt mondjuk, hogy egy <math>a\in S</math> elem Neumann-féle inverze, ha <math>aba=a</math> és <math>bab=b</math>. Világos, hogy ha <math>b</math> Neumann-féle inverze <math>a</math>-nak, akkor <math>a</math> Neumann-féle inverze <math>b</math>-nek (azaz <math>a</math> és <math>b</math> egymás Neumann-féle inverzei).
 
==Hivatkozások==
*Rédei, László, ''Algebra I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
*Clifford, A.H. and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I(1961), II(1967)
*Nagy, A., Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
*Rédei, László, ''Algebra I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
==Források==
78

szerkesztés