„Karakterisztika” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a hiv. korr, AWB |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
4. sor:
=== Gyűrűkben ===
Legyen R = (U,+,×,0) egy [[gyűrű (matematika)|gyűrű]]. Ekkor, amennyiben létezik olyan ''n''∈ℕ<sup>+</sup> [[természetes számok|természetes szám]], melyre bármely ''r''∈R esetén <math> nr = \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} = 0 \in U </math> , akkor a legkisebb ilyen ''k''∈ℕ<sup>+</sup> pozitív számot nevezzük az R gyűrű '''karakterisztiká'''jának; ha pedig ilyen ''n'' pozitív egész szám nem létezik, akkor pedig a 0∈ℕ<sup>+</sup> természetes számot. A karakterisztika jele <math> char \ R </math> vagy <math> char(R) </math> .▼
▲létezik olyan ''n''∈ℕ<sup>+</sup> [[természetes számok|természetes szám]], melyre bármely ''r''∈R esetén <math> nr = \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} = 0 \in U </math> , akkor a legkisebb ilyen ''k''∈ℕ<sup>+</sup> pozitív számot nevezzük az R gyűrű '''karakterisztiká'''jának; ha pedig ilyen ''n'' pozitív egész szám nem létezik, akkor pedig a 0∈ℕ<sup>+</sup> természetes számot. A karakterisztika jele <math> char \ R </math> vagy <math> char(R) </math> .
Formálisan tehát
<center> <math> char(R) := min \left\{ n \in \mathbb{N}^{+} \ | \forall r \in R \ : \ nr = \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} = 0 \in U \right\} </math> . </center>
18 ⟶ 17 sor:
A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k∈ℕ<sup>+</sup>-t az R karakterisztikájának, melyre ''van olyan a''∈U\{0} nem nulla elem, hogy ''ka'' = 0 (vagy pedig ''k'' = 0 -t , ha nincs ilyen szám semmilyen nem nullelem ''a''-hoz).
A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: legyen R
: Ugyanis ekkor
<math> 0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} </math> . Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely R-beli ''r''-rel; egyrészt <math> 0r = 0 </math> (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben [[zéruselem]] is); másrészt ezzel egyenlő <math> (na)r = \left( \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} \right) \cdot r </math> <math> = </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ ar+ar+\cdots+ar } \\ n \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> a \left( \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} \right) </math> <math> = </math> <math> a(nr) </math> ; s mivel <math> a \ne 0 </math> , ezért a nullosztómentesség miatt <math> nr = 0 </math> .
28 ⟶ 27 sor:
== A karakterisztika 0 vagy prím ==
'''Nulosztómentes és legalább kételemű gyűrű karakterisztikája, ha nem nulla, akkor mindig [[prímszámok|prímszám]]'''. Legyen ugyanis ''k''∈ℕ<sup>+</sup> a karakterisztika, ekkor tehát minden ''a''∈R-re ''ka'' = 0. Megmutatjuk, hogy ''k'' csak triviálisan bontható fel két tényező szorzatára, de nem 1; amiből következik, hogy prím. Ugyanis ''k'' = 1 esetén 1''a'' = 0
<math> 0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ uv \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix}+\begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix}+\cdots+\begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ u \ db. \end{matrix} } \\ v \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ (ua)+(ua)+\cdots+(ua) } \\ v \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> v(ua) </math> , tehát az ''ua'' elem v-szerese 0, ahol ''k'' = ''uv'' miatt ''v''≤''k'' és ''v''≤''k'' .
* Most lehetséges ''ua'' = 0 , ekkor ''u'' kisebb mint a ''k'' karakterisztika, és ''u'' egy nem nulla elemet 0-vá többszöröz, holott a legkisebb ilyen szám a karakterisztika; ekkor tehát ''u'' = ''k'' és így ''v'' = 1; ez esetben a ''k'' = ''uv'' felbontás [[triviális felbontás|triviális]] .
| |||