„Általános magasságtétel” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
Az '''általános magasságtétel''' az [[euklideszi geometria]] egyik elemi [[tétel]]e, mely egy [[háromszög]] [[Magasság#Geometria|magasságát]] az oldalak ([[négyzetgyök]]-[[kifejezés]]t tartalmazó) [[függvény (matematika)|függvény]]ében adja meg; kimondja, hogy egy háromszög három oldalának ismeretében kiszámítható a háromszög bármelyik magassága. Az általános magasságtételt egyébként a [[derékszögű háromszög]]ekre vonatkozó [[magasságtétel]]től való megkülönböztetés érdekében mondjuk „általánosnak”.
<!-- == Gyökkifejezéses (metrikus euklideszi) alak == -->
 
Például ha a háromszögoldalak <math> a,b,c </math> <math> \left( \in \mathbb{R}^{+} \right) </math>, akkor a <math> c </math> oldalhoz tartozó magasságot az alábbi [[tört]] alakú képlet adja meg:
<center><math> m_{c} = \frac{ \sqrt{a+b+c} \cdot \sqrt{-a+b+c} \cdot \sqrt{a-b+c} \cdot \sqrt{a+b-c} }{2c} = </math> <br> <br> <math> = \frac{ \sqrt{ \left( a+b+c \right) \left( -a+b+c \right) \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) } }{2c} </math></center>
amely mindig értelmes, nem negatív [[valós számok|valós szám]]; tetszőleges <math> a,b,c \le 0 </math> számokra ugyanis a [[háromszög-egyenlőtlenség]] miatt a gyökjelek alatti kifejezések nemnegatívak. Hasonlóan lehet a többi oldalhoz tartozó magasságot is kiszámítani, csak a képlet [[nevező]]jében nem a <math>c</math>, hanem a megfelelő oldallal kell osztani.
 
Szavakban megfogalmazva, egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát úgy számíthatjuk ki, hogy a három oldal összegét megszorozzuk az oldalak olyan előjeles összegeivel, melyekben mindig pontosan egy oldal -1, a többi +1 együtthatóval szerepel, az így kapott négytényezős szorzatból négyzetgyököt vonunk, és osztjuk az adott oldal kétszeresével. Figyeljük meg, hogy a törtképlet [[számláló]]ja nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az <math> a,b,c </math> paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög [[terület (matematika)|területének]] a négyszerese.
 
Az általános magasságtétel – amely [[tompaszögű háromszög]]ekre ugyanúgy érvényes, mint a [[hegyesszögű háromszög|hegyesszögűekre]] és a [[derékszögű háromszög|derékszögűekre]] – bizonyítása a [[Pitagorasz-tétel]]en alapulhat, és egyik fontos matematikai alkalmazását a [[Hérón-képlet]] levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az <math> s = \frac{ (a+b+c) }{2} </math> ''félkerület''et).
 
<!-- == Megfelelői a nemeuklideszi geometriában == -->
 
== Lásd még ==
17 ⟶ 15 sor:
 
== Irodalom ==
*''Dr. Gerőcs László:'' ''''' Irány az egyetem! – 1995'''''. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 [E könyvben a Pitagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható.]
{{Portál|Matematika}}
{{DEFAULTSORT:Altalanosmagassagtetel}}