„Grupoid” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a A neutrális elem ''n''-je a szövegben jelöletlen volt
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
{{egyért2|az algebrai struktúráról|Grupoid (univerzális algebra)}}
Az [[algebra|algebrában]] '''grupoid''' <ref>Maurer Gyula, Virág Imre: ''Bevezetés a struktúrák elméletébe''. Dacia könyvkiadó (Ko1ozsvár, 1976).</ref> <ref group=m>A grupoidokat egyes szerzők néha [[monoid]]oknak is nevezték, újabban azonban ezt a megnevezést inkább csak az úgynevezett [[egységelem]]es [[asszociatív]] grupoidra alkalmazzák.</ref> – más néven '''magma'''<ref group=m>A [[Bourbaki-csoport|bourbakisták]] a „magma” terminust vezették be eredetileg a grupoidokra. A „grupoid” név talán az [[angol nyelv|angol]] „group-oid”, azaz „csoport-szerű” kifejezésből ered, és valószínűleg arra utal, hogy a grupoidok „olyanok, mint a [[csoport (matematika)|csoportok]] (csak jóval kevesebbet tudnak)”. A csoport nevű [[matematikai struktúra]] valóban a grupoid egy specializációja. Egyébként a grupoid nem csak a csoportok, hanem az összes egyműveletes struktúra primitív „prototípusát” is jelenti, de az egyműveletes struktúrák közül a csoport a legfontosabb és – úgy látszik – „legmagasabbrendűnek” tartott (és ezt fedezték fel elsőként az ilyen struktúrák között): a többi fontos egyműveletes struktúra (félcsoport, kvázicsoport) is a csoportról lett elkeresztelve.</ref> – alatt egy olyan egyműveletes [[Matematikai struktúra|algebrai struktúrát]] értünk, amelyben az egyetlen definiált [[művelet]] egy kétváltozós művelet.
 
A grupoid a lehető legáltalánosabb és legegyszerűbb algebraistruktúra-típus, amely még nem teljesen üres, jelentősége ebben nagyjából ki is merül.
7. sor:
Formálisan a '''grupoid''' egy <math> G = \left( U , * \right) </math> [[rendezett pár|pár]], ahol <math> U </math> tetszőleges [[halmaz]], <math> * : U \times U \mapsto U </math> pedig egy kétváltozós [[művelet]].
 
Általában az <math> *(a,b) \in U </math> elemet ''infix jelölésmóddal'', <math> a*b </math> módon jelöljük.
 
A <math> * </math> műveletet sokszor <math> + </math> vagy <math> \times </math> szimbólummal jelöljük, az első jelölésmódot különösen akkor alkalmazzuk, ha a művelet ''kommutatív'' (tetszőleges <math> x,y \in U </math> elemekre <math> x*y = y*x </math> ), a másodikat pedig, ha ''asszociatív'' ( tetszőleges <math> x,y,z \in U </math> elemekre <math> (x*y)*z = x*(y*z) </math> ).
* Az első esetben a grupoid ''összeadó'' vagy ''additív írásmódjáról'' beszélünk, és a műveletet '''''összeadás'''''nak nevezzük,
* a második esetben a grupoid ''szorzó'' vagy ''multiplikatív írásmód''járól, és a művelet neve '''''szorzás'''''.
 
Az (U, *) grupoid U tartóhalmazának vagy univerzumának [[számosság]]át (elemeinek számát) a grupoid [[rend (matematika)|rendjének]] nevezzük. Kiszámolható, hogy véges, n-edrendű grupoid (az [[#Izomorfia|izomorf]] példányokat egynek számítva) pontosan <math> n^{n^{2}} </math> db.darab van.
 
== Speciális grupoidok ==
21. sor:
 
Speciális, kitüntetett elemekkel bíró grupoidféleségek:
 
* '''''[[neutrális elem]]es''''' vagy '''''unitér''''' grupoidban van egy neutrális elem, azaz olyan U-beli ''n'' elem, melyre tetszőleges U-beli ''x'' esetén ''x''*''n'' = ''n''*''x'' = ''x.'' Belátható, hogy legfeljebb egy neutrális elem létezik egy grupoidban, ezt összeadó írásmód esetén ''nullelem''nek, szorzó írásmód esetén ''egységelem''nek nevezzük;
* '''''[[zéruselem]]es''''' grupoidban van egy zéruselem, azaz olyan U-beli ''z'' elem, melyre tetszőleges U-beli ''x'' esetén ''x''*''z'' = ''z''*''x'' = ''z.'' Belátható, hogy legfeljebb egy zéruselem létezik egy grupoidban.
 
32. sor:
* '''''[[monoid]]'''''nak a neutrális elemes asszociatív grupoidokat, azaz a neutrális elemes félcsoportokat nevezzük.
* '''''reguláris grupoid''''' vagy egyszerűsíthető grupoid: tetszőleges U-beli ''x,'' ''y,'' ''z'' elemekre ''x''*''y'' = ''x''*''z'' esetén ''x'' zéruselem vagy ''y'' = ''z'' (balregularitás); és ''x''*''y'' = ''z''*''y'' esetén ''y'' zéruselem vagy ''x'' = ''z'' (jobbregularitás).
* '''''invertálható''''' a grupoid – más néven '''''[[kvázicsoport]]''''' – ha tetszőleges U\{0}-beli ''x,'' ''y'' elemekre (0 a zéruselem, ha van) az ?*''x'' = ''y'' és az ''x''*? = ''y'' egyenleteknek (? az „ismeretlen”) is van egy és csak egy megoldásuk, azaz egyértelműen vannak olyan ''a,'' ''b'' U-beli elemek, hogy ''a''*''x'' = ''y'' és ''x''*''b'' = ''y'' teljesüljön. Megjegyzés: fel szoktuk tenni még azt is, hogy U nem [[üres halmaz|üres]].
* '''''[[hurok (algebra)|hurok]]''''': a neutrális elemes kvázicsoportokat nevezzük így – azaz olyan grupoidokat, melyek egyszerre monoidok és kvázicsoportok. Ha egy kvázicsoport asszociatív (azaz félcsoport is, tehát csoport is), akkor automatikusan neutrális elemes.
* '''''[[Csoport (matematika)|Csoport]]'''''on olyan grupoidot értünk, mely egyszerre monoid, félcsoport és kvázicsoport; azaz a * műveletre nézve van neutrális elem, továbbá a művelet asszociatív és invertálható. Be lehet látni (ld. a példákat), hogy elegendő csak azt megkövetelni, hogy fél- és kvázicsoport legyen (azaz * asszociativitását és invertálhatóságát), mert az invertálhatóságból ''és'' az asszociativitásból együtt a neutrális elem léte következik.
 
* <u>Megjegyzések</u>:
** Egy kommutatív grupoid nem szükségszerűen asszociatív, például a nemnegatív számok <math> \mathbb{R}_{0}^{+} </math> halmaza a [[számtani közép]] képzésének műveletére (<math> a*b := \frac{a+b}{2} </math>) kommutatív ( <math> \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2} </math> ), de nem asszociatív ( <math> (1*2)*3 = \frac { \frac{1+2}{2}+3 }{2} = \frac{9}{4} \ne \frac{7}{4} = \frac{1+ \frac{2+3}{2} } {2} = 1*(2*3) </math> ).
** Fordítva, egy asszociatív grupoid sem mindig kommutatív, például az összes <math> f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} </math> valós-valós függvény a kompozíció műveletével egy asszociatív grupoid (a függvénykompozíció mindig asszociatív, bármilyen halmaz felett), de az <math> f: x \mapsto 2x </math> és <math> g: x \mapsto x^{2} </math> függvények (a kétszerezés és a négyzetre emelés) nem cserélhetőek fel (fg[x] = g(f(x)) = (2x)(2x) = 4x<sup>2</sup>, de gf[x] = f(g(x)) = 2(xx) = 2x<sup>2</sup>, azaz <math> fg[x] \ne gf[x] </math>).
** Egy invertálható grupoid, azaz egy kvázicsoport mindig reguláris. Biztosan balreguláris: ha ab=ac=d, akkor d=ab és d=ac. Az invertálhatóság miatt ekkor a d=a*? egyenlet két b,c megoldása egyenlő (hiszen egyértelműen kell hogy létezzenek a megoldások), azaz b=c. Hasonlóan belátható, hogy * jobbreguláris; összességében tehát reguláris.
** Fordítva azonban nem igaz: <math> \left( \mathbb{N} , + \right) </math> reguláris grupoid ugyan ''(a''+''z'' = ''b''+''z'' esetén ''a'' = ''b);'' de nem invertálható (az ''a''+''x'' = ''b'' egyenletnek ugyanis nem mindig van megoldása, csak ha ''a'' ≤ ''b'' – pontosan ez a ≤ [[reláció]] definíciója).
 
55. sor:
 
* '''''unipotens grupoid''''': érvényes ''x''*''x'' = ''y''*''y'' tetszőleges ''x,''''y'' ∈ ''U'' -ra;
* '''''zérópotens''''' grupoid: érvényes ''(x''*''x)''*''y'' = ''x''*''(y''*''y)'' = ''x''*''x;''
* '''''mediális gruipoidgrupoid''''': érvényes ''(x''*''y)''*''(u''*''z)'' = ''(x''*''u)''*''(y''*''z)'' tetszőleges ''x,''''y,''''u,''''z'' U-beli elemekre;
* ''balról szemimediális grupoid:'' érvényes az ''(x''*''x)'' * ''(y''*''z)'' = ''(x''*''y)'' * ''(x''*''z)'' azonosság;
* ''jobbról szemimediális grupoid:'' érvényes az ''(y''*''z)'' * ''(x''*''x)'' = ''(y''*''x)'' * ''(z''*''x)'' azonosság,
63. sor:
* '''''jobbról öndisztributív''''': érvényes az ''(y''*''z)''*''x'' = ''(y''*''x)''*''(z''*''x),''
* '''''auto- (ön-) disztributív grupoid''''': balról és jobbról is disztributív.
* '''''alternatív grupoid''''': érvényesek az ''(x''*''x)'' * ''y'' = ''x'' * ''(x''*''y)'' és az ''x'' * ''(y''*''y)'' = ''(x''*''y)'' * ''y'' azonosságok,
* Steiner-kvázicsoport: Idempotens, kommutatív grupoid az x(xy)=y azonossággal <ref>Burris, S. - Sankappanavar, H. P.: ''Bevezetés az univ. algebrába''. Tankönyvkiad., Bp., 1988. ISBN 963-18-0673-1 . </ref>.
<!-- * ''hatvány-asszociatív grupoid'': bármely elem által generált részgrupoid asszociatív. -->
 
81. sor:
* egy U halmaz hatványhalmaza az unió műveletével, a neutrális elem az <math> \empty </math> üres halmaz; a zéruselem maga az U;
* egy U halmaz hatványhalmaza a metszet műveletével, a neutrális elem maga az U; a zéruselem az üres halmaz;
* Egy U halmaz hatványhalmaza a szimmetrikus differencia műveletével, neutrális elem az <math> \empty </math> üres halmaz; zéruselem viszont általában nincs ;
* neutrális elemes grupoid továbbá a valós számok <math> \mathbb{R} </math> halmaza az összeadás műveletével, a neutrális elem a nulla, zéruselem nincs; ez már nem idempotens;
* … továbbá szintén <math> \mathbb{R} </math> a szorzás műveletével, a neutrális elem ekkor az 1; zéruselem a 0; ez sem idempotens.
90. sor:
* egy U [[halmaz]] [[hatványhalmaz]]a akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével;
* Az egész számok <math> \mathbb{Z} </math> halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
* <math> \mathbb{R} </math> az összeadás vagy a szorzás műveletével,
* A legfontosabb ellenpéldák: Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; amely nem kommutatív (de asszociatív), vagy egy halmaz hatványhalmaza a különbségképzés műveletével, vagy a valós számok halmaza a kivonás műveletével; valamely [[test (algebra)|test]] feletti n×n-es [[mátrix (matematika)|mátrix]]ok halmaza a [[mátrixszorzás]] műveletével.
 
96. sor:
* egy U [[halmaz]] [[hatványhalmaz]]a akár az unió, akár a metszet, akár a szimmetrikus differencia műveletével; mindegyik kommutatív, idempotens és neutrális elemes; azaz mind monoid is;
* Az egész számok <math> \mathbb{Z} </math> halmaza a legnagyobb közös osztó, vagy akár a legkisebb közös többszörös műveletével;
* <math> \mathbb{R} </math> az összeadás vagy a szorzás műveletével,
* Egy adott A halmazt önmagára leképező függvények halmaza a függvénykompozíció (összetettfüggvény-képzés) műveletével; ez asszociatív és neutrális elemes, de nem kommutatív grupoid;
* valamely [[test (algebra)|test]] feletti n×n-es mátrixok halmaza a mátrixszorzás műveletével, amely zéruselemes és neutrális elemes félcsoport (zéruselemes monoid);
* A [[neutrális elem#Példák|neutrális elem]] szócikk 10. példája olyan (G, *<sub>b</sub>) és (G, *<sub>j</sub>) grupoidokra ad példát, melyek könnyen beláthatóan asszociatívak, de nem neutrális elemesek. Például a ×=*<sub>b</sub> műveletre nézve minden elem ''valódi bal oldali neutrális elem'' (bal oldali neutrális, de nem kétoldali neutrális), ezért neutrális elem nincs, tehát × nem monoid-művelet, de asszociatív, ugyanis ''(x''×''y)''×''z'' = ''y''×''z'' = ''z,'' és ''x''×''(y''×''z)'' = ''x''×''z''=''z,'' tehát az asszociativitás érvényes.
* Sokkal fontosabb ellenpélda nem-neutrális elemes félcsoportra: legyen a tartóhalmaz a pozitív valós számok <math> R^{+} </math> halmaza, a művelet pedig a következő: ''x'' ∨ ''y'' = max{''x, y''}. Ez asszociatív művelet, de sem bal oldali, sem jobb oldali neutrális eleme nincs (ugyanis ez azt jelentené, hogy lenne egy pozitív szám, amely az összes többinél kisebb, illetve egy, amelyik nagyobb).
* További példákat a [[Félcsoport#Példák|félcsoportokról]] szóló cikkben lehet találni; a legfontosabb ellenpéldák pedig: az egész számok halmaza a kivonással, ez nem idempotens (ámde unipotens), jobb oldali neutrális elemes, de nem neutrális elemes, nem zéruselemes, nem kommutatív és nem asszociatív kvázicsoport.
 
=== Reguláris és invertálható grupoidok, hurkok és csoportok ===
* az <math> \left( \mathbb{N} , + \right) </math> neutrális elemes kommutatív asszociatív grupoid (kommutatív félcsoport) reguláris, de nem invertálható.
* Egy A halmazt önmagára képező [[szürjektív függvény]]ek (a halmaz minden eleme előáll bármelyik függvény valamely helyen felvett értékeként, azaz bármelyik f függvényre [[R(f)]]=A ) neutrális elemes, általában nem kommutatív (de asszociatív) félcsoportot alkotnak. Ez a grupoid beláthatóan reguláris, noha általában nem invertálható.
* Egy halmazt önmagára képező kölcsönösen egyértelmű, [[bijektív függvény]]ek ([[permutációk]]) halmaza a függvénykompozícióval invertálható (tehát reguláris) grupoid az [[identitás]] függvénnyel mint neutrális elemmel – tehát hurok. Mivel a kompozíció művelete asszociatív is, ezért csoport is. Ez egy nem-kommutatív csoport.
* <math> \left( \mathbb{R} , + \right) </math> kommutatív csoport ([[Abel-csoport]]);
123. sor:
Néhány példa homomorf grupoidpárokra:
 
* <math> \left( \mathbb{Z} , + \right) </math>-nak <math> \left( \mathbb{Z} , + \right) </math>-ba, önmagába való homomorfizmusa bármely <math> m \in \mathbb{N} ^{+} </math> esetén az <math> f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{N} ; f(n)= a \ mod \ m </math> függvény (azaz amely egy számhoz az m számmal való osztási maradékát rendeli), hiszen f(a+b)= (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) = f(a)+f(b) érvényes, két szám adott m-mel való osztási maradéka a számok maradékainak összege.
* <math> \left( \mathbb{R} , + \right) </math> és <math> \left( \mathbb{R} ^{+} _{0} , \cdot \right) </math>, sőt köztük végtelen sok homomorfizmus található, minden <math> a \in \mathbb{R} ^{+} - {1} </math> -re ugyanis a <math> x \mapsto log _{a} (x) </math> [[logaritmusfüggvény]] homomorfizmus.
* <math> \left( \mathbb{C} , \cdot \right) </math> és <math> \left( \mathbb{R} ^{+} _{0} , \cdot \right) </math> is homomorfak; például a komplex szám [[abszolút érték]]ének képzése egy homomorfizmus, hisz <math> \left| z_{1} \cdot z_{2} \right| = \left| z_{1} \right| \cdot \left| z_{2} \right| </math>
141. sor:
{{források}}
 
*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
 
=== Lásd még ===
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Grupoid