'''Definíció''' -– Azt mondjuk, hogy az f : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> függvény{{hiv|érttart}} '''differenciálható''' (vagy ''totálisan differenciálható'', vagy ''Fréchet-féle értelemben differenciálható'') az értelmezési tartományának egy ''a'' belső pontjában, ha van olyan '''A''' : '''R'''<sup>m</sup><math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>n</sup> lineáris leképezés, mellyel létezik (továbbá véges az n = 1 esetben) a következő határérték:
Ez azt jelenti, hogy ''f'' értékeinek ''f(a)''-tól való eltérése kifejezhető az '''A'''(''x'' -– ''a'') lineáris kifejezés és az ε(x) "nemlineáris" tag összegeként, mely utóbbi folytonos ''a''-ban, ott nulla értékű és ''x = a'' esetén sokkal erősebben (magasabb rendben) válik nullává, mint '''A'''(''x'' -– ''a''), azaz
Itt az ''x'' <math>\mapsto</math> f(a) + '''A'''(''x'' -– ''a'') leképezés konstans + lineáris alakú, azaz affin leképezés. Szemléletes jelenése, hogy ''x'' <math>\mapsto</math> f(a) + '''A'''(''x'' -– ''a'') képe '''R'''<sup>n</sup>-ben az ''f'' képének érintőegyenese -– ha ''f'' görbét határoz meg -– és érintősíkja, ha ''f'' felületet határoz meg (persze ezek a fogalmak csak '''R'''<sup>2</sup> és '''R'''<sup>3</sup> esetén bírnak geometriai jelentéssel).
