Főmenü megnyitása

Módosítások

Átfogalmazások. Sok körülményes, nyakatekert, lényegtelen dolog lerövidítve.
{{Matematika}}
 
A '''valószínűségszámításvalószínűség-számítás'''<ref>A matematikai szakirodalomban gyakran előfordul a helyesírási hibás ''*valószínűségszámítás'' alakban (lásd: [[a szótagszámlálás szabálya]]).</ref> a [[matematika]] egyik tudományágaága. Eredeti motivációját az olyan ún. ''indeterminisztikus'' (avagya [[véletlen]] (más szóval indeterminisztikus) ''tömegjelenség''ektömegjelenségek, röviden ''kísérletek'kísérlet'''ek mennyiségi, gyakorisági viszonyainak vizsgálata adta,. melyekEzek egyrészta kísérletek tetszőlegesen sokszor ismétlődhetnek (ezértettől tömegjelenségek), de minden megismétlődésük többféle eredménnyel – '''kimenetel'''lelkimenetellel járhat;, ugyanakkor nem tudjuk (esetlegpontosan nem akarjuk, mert nem éri meg utánajárni) pontosanelőre megmondani, kiszámítani,hogy melyik ismétlődés alkalmával melyik kimenetel következik be (ettől indeterminisztikus a tömegjelenségindeterminisztikusak). PéldaKísérlet kísérletrepéldául egy pénzérme feldobása: elvileg akárhányszor feldobhatjuk, de általában nem tudjuk határozottan megjósolni, melyik oldalára esik.
 
A huszadik században a valószínűség-számítást sikerült axiomatizálnia ([[Kolmogorov-axiómák|Kolmogorov-axiómákkal]]). Ezáltalformális ez,alapokra azhelyezték. addigEzzel a [[Matematikai analízis|függvényelmélethez]] közel álló, mennyiségtani vonásokat mutató tudományágvalószínűség-számítás az analízis absztraktabb, a [[halmazelmélet]]i-[[topológia]]i ágai, mint a [[Mérték (matematika)|mértékelmélet]] közé tagozódott be.
 
Főbb ágai a [[klasszikus valószínűség-számítás]]<!--vagy mi-->, a matematikai [[statisztika]], a [[sztochasztikus folyamat]]ok elmélete (folyamatstatisztika), és az [[információelmélet]].
* Fő szócikk: ''[[A valószínűség-számítás története]]''
 
A valószínűségek elméleténekvalószínűség-számítás – „a véletlen matematikájának”matematikája” – megalapozói közt elsősorban említendő a francia [[Pierre de Fermat|Pierre Fermat]] ([[1601]]–[[1665]]) és [[Blaise Pascal]] ([[1623]]–[[1662]]);, bár néhány ilyen tárgyú mű már az ő működésük előtt is megjelent. A legfontosabb példa a ''[[De ludo aleae]]'' ''(A kockajátékról)'' c.című könyv, amit [[Gerolamo Cardano|Cardanonak]] ([[1501]]–[[1576]]) tulajdonítanak, de (a kockajátékról már [[Claudius római császár]] is írt egy hosszabb, tréfás értekezést). A legtöbb értekezés a véletlenek törvényszerűségeiről hasonló címet viselt – a matematikának ez az ága ugyanis a [[szerencsejáték]]ok elméleteként indult, így a legtöbb korai, véletlenek törvényszerűségeiről szóló műnek hasonló címe volt. Levelezésükben Pascal és Fermat is lényegében a kockázáshoz és egyéb játékokhoz kapcsolódó problémákat, feladatokat ("[[pontosztozkodási probléma]]" ill. "[[de Méré lovag problémája]]"), tárgyalnak és oldanak meg, és lerakják a "klasszikus" vagy "kombinatorikus" valószínűség-számítás alapjait.
 
A valószínűség-számítás mint matematikai elmélet születési évének az [[1654]]-es esztendőt (szokás tekinteni, ami Fermat és Pascal egyik ilyen tárgyú levelének kelte) szokás tekinteni;. magaMaga a „valószínűség” (''probabilitas'') szó [[Jakob Bernoulli]] (1654–[[1705]]) ''Ars conjectandi'' (''A találgatás művészete'', 1713.) c.című munkájában fordul elő először. Ha sokszor elvégezzük ugyanazt a kísérletet, és jegyezzük, hogy adott esemény ennek során hányszor következett be, akkor a kísérletet egyre többször végezve az adott esemény relatív gyakorisága (azaz az esemény bekövetkezései számának és a kísérletek számának hányadosa) egyre inkább megközelít egy számot: az esemény valószínűségét. Például, ha kísérletkéntsokszor feldobunk egy dobókockát dobunk fel sokszor, amelyik egyenlő eséllyel eshet mind a hat oldalára; és jegyezzük, hányszor dobtunk hatost, akkor elegendő sokszorsok végezvefeldobás a feldobásokatután azt tapasztaljuk, hogy az összesa dobások körülbelül 1/6-od részében kaptuk a hatos számot.
 
A szerencsejátékok elmélete később biztosítási, népesedési és sztochasztikus (véletlen) geometriai problémákkal (céllövészet elmélete) bővült. A fontosabb matematikusok, akik ilyen problémákkal foglalkoztak (és neveikkel nemsokárapéldául találkozhatunktételek példáulnevében tételnevekkéntis találkozhatunk): [[Abraham de Moivre|Moivre]], [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], [[Thomas Bayes|Bayes]] (ld. [[Bayes-tétel|Bayes tétele]]), [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Buffon]] (ld.lásd [[geometriai valószínűség]]). A [[XIX. század]]ban a valószínűség-számítás a matematika önmagában is hatalmas, önálló ágává vált. [[Pierre-Simon de Laplace]] ([[1749]]–[[1827]]) [[1812]]-ben megjelent ''Théorie analitique des probabilités'' (''A valószínűségek analitikai elmélete'') c.című könyve nemcsak összefoglalója ennek az elméletnek, de sokáig fejlődésének egyik motorja.
 
A „modern kori” (XIX. század második fele–[[XX. század]] első fele) valószínűség-számítást az „orosz iskola” vitte tovább:, aköztük legismertebba neveklegismertebbek [[Pafnutyij Lvovics Csebisev|Csebisev]], [[Andrej Andrejevics Markov|Markov]] és [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov|Ljapunov]]. Az elmélet axiomatikus megalapozását ([[1933]]-ban) a moszkvai [[Andrej Nyikolajevics Kolmogorov|Kolmogorov]] végezte el [[1933]]-ban (ld.lásd [[Kolmogorov-axiómák]]). E lépésselEzzel a valószínűség-számítás a modern matematika többi ágával teljesen egyenrangú formális elméletté vált. Kolmogorovtól ered a „valószínűségi mező” fogalma: ez egy esemény-halmaznak (eseménytérnek) és egy „valószínűség-kiszámítási módnak” (ez valamilyen nemnegatív valós szám értékű függvény) a párosa. Ez a fogalom már a posztmodern, struktúra- és modellelméleti szemléletű matematika terméke.
 
A valószínűség-számítás nemcsak megalapozódott a huszadik században, hanem folyamatosan olyan területekkel bővült, mint egy részecske bolyongásának leírása többdimenziós euklideszi térben (ld.lásd [[Brown-mozgás]], [[Wiener-folyamat]]). A huszadik század második felében született meg önálló tudományként műszaki, mérnöki és statisztikai problémák termékeként a valószínűség-számítás két fontos új ága: a [[folyamat-statisztika]], illetve az [[információelmélet]]. De nemcsak a "kívülről jött", például [[fizika]]i eredetű problémákkal gazdagodott, mint a bolyongások; hanem alkalmazást nyert másféle ágakkal foglalkozó matematikusok körében is; így manapság olyan "furcsa" gondolatokkal találkozhatunk, hogy számelméleti problémákat valószínűség-számítási alapon is lehet vizsgálni.
 
A természettudományok,természettudományokban (különösen a fizikafizikában) ésaz aállítások …-fizikák„szilárdságának” („genitivus”-fizikák, mint a [[biofizika]] és a [[csillagászat]]) egyfajta [[metatudomány]]kéntszámszerűsítésére használják állításaik „szilárdságának” meghatározására, hasonlóképp, mint például a [[hibaszámítás]]t és egyéb numerikus módszerek elméletét. A valószínűség-számítás talán jelenleg legfontosabb alkalmazási területe a hírközlés- és információelmélet.
 
== Eseményalgebra ==
 
A valószínűség-számításhoz,számítás mintformális szinte minden matematikai tudományághoz,tárgyalásához mindenekelőtt egy [[matematikai struktúra]] szükségeltetik. A valószínűség-számítás esetében ez a struktúra egy ún. eseményalgebra, (ami általában egy '''[[σ-algebra]]''', más néven egy '''mérhető tér'''). Az eseményalgebraeseményalgebrában a tapasztalati probléma modellezésére jó. A kísérletet egy halmazzal azonosítjuk, mégpedig a kísérlet kimeneteleinek ''K'' halmazával. Ezt nevezzük '''eseménytér'''nek is (elemeit pedig '''elemi események'''nek is nevezzük, ld). mégPéldául lentebb)kockadobásnál a kimenetelek halmaza ''K''={1,2,3,4,5,6}.
 
'''Eseménynek''' nevezhetünknevezünk mindent, amiről a kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem. Érthetőbben,Például "eseménynek" a kísérlet kimeneteleiről szóló, egyértelműen igaz vagy hamis állítás igazságértéke mivoltának eldőlését nevezhetjük (pl.:ha egy [[szabályos dobókocka|szabályos dobókockával]] dobunk, hat lesz-e az eredmény? – ha igen,akkor a "hat leszaz eredmény" egy esemény következett be, ha nem, akkor nem. Dede definiálhatóak bonyolultabb, (összetett) események is, pl. "3-nál nagyobb lett-e az eredmény?", -ami akkor következik be, ha 4-et, 5-öt, vagy 6-ot dobtunk, egyébként nem. Minden eseményt egyértelműen meghatároz az, hogy melyik kimenetelek esetén következik be, ezért matematikailag az eseményt a kimeneteleknek ezen részhalmazával azonosítjuk. Például, ha szabályos kockával 2-t, 4-et, vagy 6-ot dobunk, akkor bekövetkezik a "háromnálpáros nagyobbszámot lettdobtunk" esemény, következettegyébként benem; tehát az adottesemény kísérleta ''K'' halmaz során''A''={2,4,6} egyébkéntrészhalmazával nem)azonosítható. A kimenetelek is felfoghatóak eseményeknek, hiszen a k∈''K'' kimenetelhez egyértelműen tartozik egy {k}⊆''K'' egyelemű esemény, azaz '''elemi esemény'''. A "kimenetel" és az "elemi esemény" fogalmai között tehát a gyakorlatban nincs jelentős eltérés, viszont formálisan különböznek.
 
A gyakorlati problémák szempontjából fontos ismerni a figyelembe vehető események halmazát, ezmert tehátbonyolultabb aproblémák esetén K-nak nem minden részhalmazát célszerű az események között kezelni. A figyelembe vehető események halmazában ''K-nak bizonyos '' részhalmazai halmazánakszerepelnek, (tehát ez ''K'' [[hatványhalmaz|hatványhalmazának]], P(''K'')-nak) egy ''R'' részhalmaza. Matematikai vizsgálatra jobbára azon ''R'' eseményterek alkalmasak, melyekre igaz, hogy nem üresek, és bármely két esemény halmazelméleti összege ([[Unió (halmazelmélet)|uniója]]) és [[különbség (halmazelmélet)|különbsége]] is esemény (azaz ''R''-beli). Egyébként ezEz ekvivalens azzal, hogy ''R'' tartalmazza a biztos eseményt, bármely ''R''-beli esemény komplementerét, valamint bármely két ''R''-beli esemény összegét. Az eseményalgebra jobbára a klasszikus problémák alapeszköze, a felsőbb matematikában inkább a [[szigma-algebra]] fogalmárafogalmát alapozunkhasználják.
A kísérlet egy megismétlése mindig egy kimenetelt ad. A kimenetel ismeretében egyértelműen eldönthető, egy adott ''A'' esemény, mint a kimenetelről szóló állítás, teljesül-e vagy sem. Azon kimenetelek, melyek bekövetkezése az ''A'' állítást igazzá teszi, a ''K'' egy részhalmazát alkotják, matematikailag az eseményt nyugodtan azonosíthatjuk e részhalmazzal (például ha szabályos kockával 2-t, 4-et, vagy 6-ot dobunk, akkor bekövetkezik a "páros számot dobtunk" esemény, egyébként nem; tehát az esemény a ''K''={1,2,3,4,5,6} halmaz ''A''={2,4,6} részhalmazával azonosítható.). A kimenetelek is felfoghatóak eseményeknek, hiszen a k∈''K'' kimenetelhez egyértelműen tartozik egy {k}⊆''K'' egyelemű esemény, azaz '''elemi esemény''' (a "kimenetel" és "elemi esemény" fogalmai között tehát praktikusan általában jelentéktelen különbség van).
 
Egy esemény '''lehetetlen esemény''', ha semmilyen körülményekkimenetel esetén között nem következik be. '''Biztos eseményről''' akkor beszélünk, ha a kísérlet során biztosan (mindigminden kimenetelnél) bekövetkezik.
A gyakorlati problémák szempontjából fontos ismerni a figyelembe vehető események halmazát, ez tehát a ''K'' részhalmazai halmazának (hatványhalmazának, P(''K'')-nak) egy ''R'' részhalmaza. Matematikai vizsgálatra jobbára azon ''R'' eseményterek alkalmasak, melyekre igaz, hogy nem üresek, és bármely két esemény halmazelméleti összege ([[Unió (halmazelmélet)|uniója]]) és [[különbség (halmazelmélet)|különbsége]] is esemény (azaz ''R''-beli). Egyébként ez ekvivalens azzal, hogy ''R'' tartalmazza a biztos eseményt, bármely ''R''-beli esemény komplementerét, valamint bármely két ''R''-beli esemény összegét. Az eseményalgebra jobbára a klasszikus problémák alapeszköze, a felsőbb matematikában inkább a [[szigma-algebra]] fogalmára alapozunk.
 
Egy esemény '''lehetetlen esemény''', ha semmilyen körülmények között nem következik be. '''Biztos eseményről''' akkor beszélünk, ha a kísérlet során biztosan (mindig) bekövetkezik.
Azt az eseményt, mely [[Bikondicionális|akkor és csak akkor]] következik be, ha az ''A'' esemény nem következik be, az ''A'' esemény '''ellentett eseményének''' nevezzük.
 
== Klasszikus valószínűség-számítás ==
 
Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyesa kimeneteleknek azonos a [[valószínűség]]ük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínűségei együtt ún. '''klasszikus valószínűségi''' mezőt alkotnak.
 
Legyen ''A'' a kísérlettel kapcsolatos esemény. Ha az ''A'' esemény a kísérlet ''n'' elemi eseménye közül ''k'' különböző elemi esemény összegéből áll, akkor valószínűsége:
<math>P_k={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,</math>
 
Szóban kifejezve: Legyen ''A'' eseményünk, melynek valószínűsége ''p''. Végezzünk ''n'' számú kísérletet, melyből az ''A'' esemény ''k''-szor következik be. ''B'' esemény az az esemény, hogy ''A'' esemény ''k''-szor bekövetkezik. ''B'' esemény bekövetkezésének valószínűsége a fenti képlet alapján meghatározható.
Szóban kifejezve:
 
Legyen ''A'' eseményünk, melynek valószínűsége ''p''. Végezzünk ''n'' számú kísérletet, melyből az ''A'' esemény ''k''-szor következik be. ''B'' esemény az az esemény, hogy ''A'' esemény ''k''-szor bekövetkezik. ''B'' esemény bekövetkezésének valószínűsége a fenti képlet alapján meghatározható.
 
== Kapcsolódó szócikkek ==
449

szerkesztés