„Szerkesztő:05storm26/Egyszerű csoport” változatai közötti eltérés

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
6. sor:
A ''G'' = '''Z'''/3'''Z''' mod 3-mas [[maradékosztály]], [[ciklikus csoport]] például egyszerű. Ha ''H'' ennek egy részcsoportja, akkor ''H'' rendje (véges csoport esetén az elemszám) osztja ''G'' rendjét, ami jelen esetben 3. Mivel 3 prímszám így, az osztói csak az 1 és a 3 vagyis ''H'' vagy megegyezik ''G''-vel vagy pedig a [[triviális csoport]]tal. Másrészről a ''G'' = '''Z'''/12'''Z''' csoport nem egyszerű. A ''H'' halmaz, amelynek elemei a 0, 4, 8, modulo 12 kongruenciaosztályok, egy részcsoport, amelynek rendje 3 és egy [[normális részcsoport]], hiszen egy [[Abel-csoport]] bármely részcsoportja normális. Hasonlóan ''Z'' additiv csoportja sem egyszerű mivel a páros számok additiív csoportja egy nem triviális valódi normális részcsoport.<ref>Knapp (2006), [{{Google books|plainurl=y|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z}} p. 170]</ref>
 
Az előbbi érvelés alkalmazható bármely Abel-csoprtra, és így levonhatjuk azt a következtetést, hogy kizárólag csak azok a ciklikus csoportok egyszerű Abel-csoportok, amelyek rendje prímszám. A nem kommutatív egyszerű csoportok osztályozása már nem ilyen egyszerű. A legkisebb nem Abel-csoport egyszerű csoport az ''A''<sub>5</sub> 60-as rendű [[alternáló csoport]]. Minden 60-as rendű egyszerű csoport izomorf ''A''<sub>5</sub>-tel.<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref>
One may use the same kind of reasoning for any abelian group, to deduce that the only simple abelian groups are the cyclic groups of [[prime number|prime]] order. The classification of nonabelian simple groups is far less trivial. The smallest nonabelian simple group is the [[alternating group]] ''A''<sub>5</sub> ofmásodik orderlegkisebb 60,nem andkommutatív everyegyszerű simplecsoport groupaz ofa orderprojektív 60lineáris iscsoport [[Groupspeciális isomorphism|isomorphic]] to ''A''<sub>5</sub>.<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref> The second smallest nonabelian simple group is the projective special linear groupesete [[PSL(2,7)]], ofamelynek orderrendja 168. Bizonyítható, andhogy itminden isegyszerű possiblecsoport, toamelynek prove that every simple group of orderrendje 168, is isomorphic toizomorf [[PSL(2,7)]]-tel.<ref>Rotman (1995), p. 281</ref><ref>Smith & Tabachnikova (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic}} p. 144]</ref>
 
=== Végtelen egyszerű csoportok ===
A végtelen alternáló csoport pl. az egész számok páros permutációjának csoportja <math>A_\infty</math> egyszerű csoport. Ez a csoport definiálható úgy mint a véges egyszerű <math>A_n</math> csoportok egyre növekvő uniója, figyelmbe véve a sztandard <math>A_n\to A_{n+1}</math> beágyazódást.
The infinite alternating group, i.e. the group of even permutations of the integers, <math>A_\infty</math> is simple. This group can be defined as the increasing union of the finite simple groups <math>A_n</math> with respect to standard embeddings <math>A_n\to A_{n+1}</math>. Another family of examples of infinite simple groups is given by <math>\mathrm{PSL}_n(F)</math>, where <math>F</math> is a field and <math>n\geq 3</math>.
 
Another family of examples of infinite simple groups is given by <math>\mathrm{PSL}_n(F)</math>, where <math>F</math> is a field and <math>n\geq 3</math>.
 
It is much more difficult to construct ''finitely generated'' infinite simple groups. The first example is due to [[Graham Higman]] and is a quotient of the [[Higman group]].<ref>{{Citation | last1=Higman | first1=Graham | author1-link=Graham Higman | title=A finitely generated infinite simple group | doi=10.1112/jlms/s1-26.1.59 |mr=0038348 | year=1951 | journal=Journal of the London Mathematical Society. Second Series | issn=0024-6107 | volume=26 | issue=1 | pages=61–64}}</ref> Other examples include the infinite [[Thompson groups]] ''T'' and ''V''. Finitely presented torsion-free infinite simple groups were constructed by Burger-Mozes.<ref>M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." ''Publ. Math. IHES'' '''92''' (2000), pp.151–194.</ref>