a
Visszaállítottam a lap korábbi változatát: 89.132.228.54 (vita) szerkesztéséről Qorilla szerkesztésére
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a (Visszaállítottam a lap korábbi változatát: 89.132.228.54 (vita) szerkesztéséről Qorilla szerkesztésére) |
|||
|
== Definíció a valós számok halmazán ==
=== Pozitív egész kitevőre ===
Ha ''a'' tetszőleges [[valós számok|valós szám]], ''b'' pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor <math>a^b</math> hatvány azt a ''b'' tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője ''a'':
:<math>a^b = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{b \text{ db}} \,</math>
Mivel egytényezős szorzat nem létezik, a ''b''=1 esetet külön kell definiálni:
:<math>a^1 = a \,</math>
;Egyéb elnevezések: Egy szám második hatványát másképpen a '''négyzetének''', harmadik hatványát a '''köbének''' is hívjuk.
=== Nulla kitevőre ===
Ha az ''a'' valós szám nem nulla, akkor
:<math>a^0=1 \,</math>
A <math>0^0</math> kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.
=== Negatív egész kitevőre ===
Ha ''a'' tetszőleges nem nulla valós szám, ''-b'' pedig negatív egész, akkor
:<math>a^{-b}=\frac{1}{a^b} \,</math>
Mivel ''b'' pozitív egész, ez a kifejezés a korábbi definíció alapján értelmezhető.
A nulla negatív hatványai nem értelmezhetők, mert nullának nincs reciproka.
=== Racionális törtkitevőre ===
Legyen ''a'' nemnegatív valós szám, ''b'' pedig racionális törtszám. Ekkor a [[racionális szám]] definíciója alapján ''b'' felírható ''p/q'' alakban, ahol ''p'' egész, ''q'' pedig 1-től különböző pozitív egész. Az <math>a^b</math> hatvány ennek segítségével a következőképpen értelmezhető:
:<math>a^b=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p} \,</math>
Negatív alap esetében a matematika nem egységes.
Bizonyos esetekben például a következőképp értelmezik:
:<math>(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2</math>
Ekkor azonban fontos, hogy a kitevőt egyszerűsített alakjában írjuk fel, például ha a belső hatványkitevőt és a gyökkitevőt is beszorozzuk kettővel, akkor elveszítjük a 8-as előjel-információját:
:<math>\sqrt[6]{(-8)^2}=2</math>
Legtöbbször azonban a negatív számok hatványait a valós számok körében csak egész kitevő esetén értelmezik, törtkitevő esetén pedig a [[komplex számok]] többértékű hatványfogalmát használják (lásd lejjebb)
=== Irracionális kitevőre ===
Ha ''a'' nemnegatív valós szám, ''b'' pedig [[irracionális szám]], akkor:
:<math>a^b=\lim_{x \to b} a^x \,</math>
Ahol ''lim'' a [[határérték]]et jelöli, ''x'' pedig csak racionális értéket vesz fel.
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az irracionális kitevőjű hatvány értéke „nagyon közel” van a körülötte lévő racionális kitevőjű hatványok értékéhez. Ebben a definícióban azt használtuk ki, hogy a racionális számok „sűrűn” helyezkednek el, azaz bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám található.
A valós kitevős hatvány az exponenciális függvény és a [[logaritmus]] segítségével is bevezethető:
:<math>b^x = e^{x\cdot\ln b}\,</math>
Belátható, hogy a hatványozás azonosságai ezzel is érvényben maradnak, és hogy ugyanazt kapjuk, mint a határértékes módszerrel.
== Az exponenciális függvény ==
{{Bővebben|Exponenciális függvény}}
| |||