„Maradékosztály” változatai közötti eltérés

'''Tétel''' - Adva legyen néhányNéhány [[egész számok|egész szám]]. Teljesteljes maradékrendszert alkotnakalkot ''mod m'' [[akkor és csak akkor]], ha számuk ''m'', és nincs köztük két egymással kongruens szám.

'''Bizonyítás''' - Legyen ''T''_''m'' teljes maradékrendszer ''mod m''. Minden maradékosztályból egy és csak egy elem van ''T''_''m''-ben, ezért ''T''_''m'' elemszáma ''m''.

Tekintsünk most ''m'' darab egész számot, amik között nincsenek [[kongruencia|kongruensek]]. Ezek csupa különböző maradékosztályba tartoznak, és, mivel ''m'' darab van belőlük, azért az összes maradékosztály képviselve van.

'''Tétel''' - Legyen ''r''₁, ''r''₂,…,''r''_''m'' teljes maradékrendszer ''mod m''. Legyen továbbá ''a'' relatív prím ''m''-hez, ''b'' tetszőleges egész szám. Ekkor ''ar''₁+''b'', ''ar''₂+''b''', …, ''ar''_m+''b''' is teljes maradékrendszer ''mod m''.

Ha ''ar''_''i''+''b'' és ''arj+ar''b_''j''+''b'' kongruensek ''mod m'', akkor a kongruencia mindkét oldalából ''b''-t kivonva ''ar''_''i'' és ''ar''_''j'' kongruensek lennének. ''a'' relatív prím ''m''-hez, ezért lehet vele egyszerűsíteni. Kapjuk, hogy ''r''_''i'' és ''r''_''j'' kongruensek. Ez csak úgy lehet, hogy ''i'' = ''j''.