„Dirichlet-féle L-függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Gyökök |
→Gyökök: Euler-szorzat; Függvényegyenlet |
||
17. sor:
Ahogy a [[Riemann-féle zéta-függvény]]hez tartozik a Riemann-hipotézis, úgy a Dirichlet-féle L-függvény az [[általánosított Riemann-hipotézis]]nek engedelmeskedik.
==Euler-szorzat==
Mivel a χ egy Dirichlet-karakter, azért χ teljesen multiplikatív, és ''L''-függvénye felírható az abszolút konvergencia félsíkján Euler-szorzatként:
:<math>L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}\text{ for }\text{Re}(s) > 1,</math>
ahol a szorzat befutja az összes prímet.<ref>{{harvnb|Apostol|1976|loc=Theorem 11.17}}</ref>
==Függvényegyenlet==
Tegyük fel, hogy χ a ''k'' modulus prímitív karaktere. Definiáljuk a következőket:
:<math>\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),</math>
ahol Γ a [[gamma-függvény]] és az ''a''-t megatározza az
:<math>a=\begin{cases}0;&\mbox{if }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{if }\chi(-1)=-1,\end{cases}</math>
egyenlet. Ekkor teljesül a következő [[függvényegyenlet]]:
:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).</math>
Itt τ(χ)a [[Gaus-összeg]]
:<math>\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).</math>
Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = ''k''<sup>1/2</sup>.
[[Kategória: Számelmélet]]
| |||