„Geometriai szerkesztések” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Visszaállítottam a lap korábbi változatát: 134.255.2.114 (vita) szerkesztéséről Burumbátor szerkesztésére
Nincs szerkesztési összefoglaló
4. sor:
 
== Szerkesztő eszközök ==
A tiszta geometriai megoldás az eredmény '''elvi megalkotását''' kívánja meg. A gyakorlati feladatoknál az eredmény '''anyagi reprezentációját''' is megkövetelhetik. (<small>Egy alkatrésznek nem csupán a rajzára, de magára a munkadarabra is szükség van</small>.) Éppen ezért a gyakorlat számára minden módszer megengedett: ''a cél szentesíti az eszközt''. Az ókori görög matematikusok az elméleti feladatok megoldására is használtak többféle eszközt a körző és a vonalzó mellett. A kioszi [[Oinopidész]] tankönyvében (i. e. 450 k.) még bőven találunk ilyen szerkesztéseket.
 
=== Platóni elmélet ===
Az i. e. 4. században a görög tudomány fő irányzatát adó [[Platón]] a geometriai szerkesztéseket csoportosítja a megoldáshoz felhasznált eszközök szerint :
* 1. A csak egyélű vonalzót és körzőt használó,
* 2. – ezen kívül valamilyen kúpszelet ívet használó,
* 3. – még valamilyen eszközt használó
 
szerkesztések. A rangsor a [[Platónplatón]]-i '''ideák''' elméletének megfelelően az ''absztrakt és nemes'' –tőltől indul, a ''mechanikus és földi'' –nélnél végződik. (<small>Megjegyzi még, hogy csak a körzőt tekinti „ideális” eszköznek.)</small>
 
=== Eukleidész és az Elemek ===
Platón után egy évszázaddal [[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]] az [[Elemek]]-ben már teljesen mellőzi a körző és a vonalzó mellett más eszközök használatát. Ezért nevezzük ezeket a szerkesztéseket [[euklideszi szerkesztés]]nek. Noha [[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]] munkája az i. e. 3. századot követően etalon volt egészen [[Bolyai János|Bolyai]] és [[Lobacsevszkij]] fellépéséig, az ókori matematikusok még [[Eukleidész (matematikus)|Eukleidész]] után is használtak meg nem engedett eszközöket utolsó mentségként.
 
== Nemeuklideszi szerkesztések ==
26. sor:
Az euklideszitől való eltérés másik útja az egyik eszköz mellőzése. Bebizonyították, hogy minden euklideszi szerkesztés elvégezhető
* csak körzővel. ([[Mohr]]–[[Mascheroni]] szerkesztés);
* csak vonalzóval, ha adott egy tetszőleges kör ([[Poncelet]]–[[Steiner]] szerkesztés).
 
Az első esetben egy egyenest két pontjával „szerkesztünk” meg, míg a második esetben egy kört három pontjával, vagy egy pontjával és a centrumával. A kapott alakzatok megrajzolása csupán láthatóvá teszi a végeredményt.
 
=== Több eszköz ===
Még az euklideszi kritériumok közelében maradunk, ha megengedünk néhány '''összetett vonalzót''' a körzővel és vonalzóval is elvégezhető lépések egyszerűsítésére. Ilyen az L alakú ''derékszög-vonalzó'', a kétféle ''háromszög-vonalzó'' és a rajztábla tartozéka a ''fejesvonalzó''. Az ókori görög geométerek részben hasonló célú eszközökkel, részben a körzővel-vonalzóval megoldhatatlan feladatokra specializált eszközökkel is dolgoztak. Ilyen eszközök később is készültek:
* '''neuszisz vonalzó''', a [[neuszisz szerkesztés]] elvégzésére. Eredete, feltalálója ismeretlen, i. e. 6. században már használták.
* '''konhoisz körző''' a [[neuszisz szerkesztés]]hez, [[Nikomédész]] (i. e. 240 k.) találmánya a [[konhoisz]] megrajzolására.
* '''ellipszis körzők''' egyike [[Leonardo da Vinci]] (1500 k.) konstrukciója.
* '''cisszoisz körző'''t a [[Dioklész (matematikus)]]-féle [[cisszoisz]] rajzolására [[Isaac Newton|Newton]] (1700 k.) készített.
45. sor:
 
=== A kocka kettőzése ===
[[Kockakettőzés|Déloszi probléma]], azaz olyan kocka élét kell megszerkeszteni, amelyik egy adott kocka térfogatának kétszerese. Legkorábban a [[khioszi Hippokratész]] (i. e. 430) foglalkozik vele, de gyökerei [[Babilon]]ba nyúlnak vissza. (Általánosabban a kockát adott arányban kell megnövelni.)
 
=== A szög harmadolása ===
[[Szögharmadolás|Trisectio]], azaz tetszőleges szög harmadrészének megszerkesztése. Először [[Arkhimédész]] (i. e. 250 k.) adott rá megoldást [[neuszisz szerkesztés]]sel. Később [[Papposz]] (i. sz. 320 k.) megsejtette, hogy a feladat megoldhatatlan, amit [[Pierre Wantzel|Wantzel]] (1836) bizonyított be. (Általánosításai: (1)- tetszőleges szög akárhány egyenlő részre osztása; (2)-tetszőleges szög adott arányban való felosztása.)
 
=== A kör négyszögesítése ===
59. sor:
 
== Forrás ==
* Courant – Robbins: Mi a matematika? (Gondolat, 1966)
* Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika (Gondolat, 1965)
* Hajós György: Bevezetés a geometriába (Tankönyvkiadó, 1960)
* Ribnyikov, K.A.: A matematika története (Tankönyvkiadó, 1968)
* Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
* Strathern, Paul: Arkhimédész (Elektra Alkotóház, é.n.)
* Waerden, B.L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
* Szökefalvi-Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Akadémiai Kiadó, 1968)
 
[[Kategória:Abszolút geometria]]