„Abszolút konvergencia” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
 
Feltételesen konvergens sorozatra példa az alternáló harmonikus sorozat. Több konvergenciakritérium, mint a [[hányadoskritérium]] és a [[gyökkritérium]], abszolút konvergenciát bizonyít. Ez azért van, mert a [[hatványsor]]ok is abszolút konvergensek konvergencialemezükben.
 
Mivel egy komplex sor akkor és csak akkor konvergens, ha valós és képzetes része valós, ezért gondolhatunk a sor <math> a_n</math> tagjaira, mint valós számokra.
Tegyük fel, hogy <math>\sum |a_n|</math> konvergens. Ekkor <math>2\sum |a_n|</math> is konvergens.
 
Mivel <math>0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|</math>, azért
:<math>0 \le \sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|) \le \sum_{n = 1}^m 2|a_n|\le \sum_{n = 1}^\infty 2|a_n|</math>.
Így <math>\sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|)</math>korlátos monoton sorozat (in ''m''), ami konvergens.
 
<math>\sum a_n = \sum(a_n+|a_n|) - \sum |a_n|</math> konvergens sorok különbsége; emiatt konvergens, ahogy kell.
 
 
[[Kategória:Analízis]]