„Abszolút konvergencia” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
 
<math>\sum a_n = \sum(a_n+|a_n|) - \sum |a_n|</math> konvergens sorok különbsége; emiatt konvergens, ahogy kell.
 
Banach-terekben hasonló a bizonyítás:
 
Legyen ''X'' Banach-tér, &sum;''x''<sub>''n''</sub> abszolút konvergens ''X''-ben. Mivel <math>\scriptstyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|</math> valós számok Cauchy-sorozata, azért minden &epsilon; &gt; 0 valós számra és elég nagy ''m'' &gt; ''n'' egész számokra
:<math>\left|\sum_{k=1}^m\|x_k\|-\sum_{k=1}^n\|x_k\|\right| = \sum_{k=n+1}^m\|x_k\|< \varepsilon.</math>
 
A norma háromszög-egyenlőtlenségét felhasználva:
:<math>\left\|\sum_{k=1}^m x_k-\sum_{k=1}^nx_k\right\| = \left\|\sum_{k=n+1}^m x_k\right\| \le \sum_{k=n+1}^m\|x_k\|<\varepsilon,</math>
 
az <math>\scriptstyle\sum_{k=1}^nx_k</math> Cauchy ''X''-ben, tehát konvergens is ''X''-ben.<ref>{{citation
| last = Megginson | first = Robert E.
| title = An introduction to Banach space theory
| series = Graduate Texts in Mathematics
| volume = 183
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 1998
| isbn = 0-387-98431-3
| page = 20
}} (Theorem 1.3.9)</ref>