„Abszolút konvergencia” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
 
ahol <math>\{e_n\}_{n=1}^{\infty}</math> ortonormált bázis. A. Dvoretzky és C. A. Rogers tétele<ref>Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. (1950), "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces", Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. '''36''':192&ndash;197.</ref> szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik nem abszolút konvergens, de feltételesen konvergens sor.
 
Minden ε > 0-hoz választhatunk <math>\kappa_\varepsilon,\lambda_\varepsilon \in \mathbf{N}</math> számokat, hogy:
 
:<math>\begin{align}
\forall N>\kappa_\varepsilon &\quad \sum_{n=N}^\infty \|a_n\| < \tfrac{\varepsilon}{2} \\
\forall N>\lambda_\varepsilon &\quad \left\|\sum_{n=1}^N a_n-A\right\| < \tfrac{\varepsilon}{2}
\end{align}</math>
 
Legyen
 
:<math>\begin{align}
N_\varepsilon &=\max \left \{ \kappa_\varepsilon, \lambda_\varepsilon \right \} \\
M_{\sigma,\varepsilon} &= \max \left\{ \sigma^{-1}\left( \left \{ 1,\dots,N_\varepsilon \right \}\right) \right\}
\end{align}</math>
 
Végül minden <math> N > M_{\sigma,\varepsilon}</math>-re legyen
 
:<math>\begin{align}
I_{\sigma,\varepsilon} &= \left\{ 1,\ldots,N \right\}\setminus \sigma^{-1}\left( \left \{ 1,\dots,N_\varepsilon \right \}\right) \\
S_{\sigma,\varepsilon} &= \min \left \{ \sigma(k) \ : \ k \in I_{\sigma,\varepsilon} \right \} \\
L_{\sigma,\varepsilon} &= \max \left \{ \sigma(k) \ : \ k \in I_{\sigma,\varepsilon} \right \}
\end{align}</math>
 
Ekkor
 
:<math>\begin{align}
\left\|\sum_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\| &= \left\| \sum_{i \in \sigma^{-1}\left(\{ 1,\dots,N_\varepsilon \}\right)} a_{\sigma(i)} - A +
\sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\| \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^{N_\varepsilon} a_j - A \right\| + \left\|\sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\| \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^{N_\varepsilon} a_j - A \right\| + \sum_{i \in I_{\sigma,\varepsilon}} \left \| a_{\sigma(i)} \right \| \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^{N_\varepsilon} a_j - A \right\| + \sum_{j = S_{\sigma,\varepsilon}}^{L_{\sigma,\varepsilon}} \left \| a_j \right \| \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^{N_\varepsilon} a_j - A \right\| + \sum_{j = N_\varepsilon + 1}^{\infty} \left \| a_j \right \| && S_{\sigma,\varepsilon} \geq N_{\varepsilon}+1\\
&< \varepsilon
\end{align}</math>
 
Eszerint
 
:<math> \forall\varepsilon > 0, \exists M_{\sigma,\varepsilon}, \forall N > M_{\sigma,\varepsilon} \quad \left\|\sum_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\|< \varepsilon, </math>
 
tehát:
 
:<math>\sum_{i=1}^\infty a_{\sigma(i)}=A</math>
 
 
[[Kategória:Analízis]]