„Egyenletesen folytonos függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Intuicionista matematika: Története |
→Intuicionista matematika: Más jellemzések |
||
53. sor:
Ha egy valós értékű <math>f</math> függvény folytonos <math>[0, \infty)</math>-en, és létezik véges <math>\lim_{x \to \infty} f(x)</math> határértéke, akkor <math>f</math> egyenletesen folytonos. Speciálisan, <math>C_0(\mathbb{R})</math> elemei, a végtelenben eltűnő, valóson értelmezett folytonos függvények is egyenletesen folytonosak. Ez a Heine-Cantor-tétel általánosítása, mivel <math>C_c(\mathbb{R}) \subset C_0(\mathbb{R}) </math>.
==
A nem standard analízisben egy valós változós, valós értékű ''f'' függvény mikrofolytonos egy ''a'' pontban, ha az ''f''*(''a'' + ''δ'') − ''f''*(''a'') különbség infinitezimális, ha ''δ'' infinitezimális. Így ''f'' folytonos egy ''A'' halmazon, ha ''f''* mikrofolytonos minden ''a'' ∈ ''A'' pontban. Az egyenletes folytonosság a mikrofolytonossággal kifejezve: nemcsak hogy ''f'' mikrofolytonos ''A'' minden pontjában, hanem annak nem standard <sup>*</sup>''A'' kiterjesztésében <sup>*</sup>R-ben. Eszerint a definíció szerint vannak hiperreális értékű függvények, amelyek megfelelnek ennek a követelménynek, de nem egyenletesen folytonosak a szokásos értelemben, és vannak egyenletesen folytonos hiperreális értékű függvények, amelyek nem felelnek meg ennek a követelménynek. Ezek azonban nem írhatók fel, mint ''f''*, ahol ''f'' valós értékű.
Az [[Matematikai intuicionizmus|intuicionista matematikában]] minden függvény egyenletesen folytonos.
==Története==
Az egyenletesen folytonos függvények fogalmát Heine vezette be 1870-ben. Heine 1872-ben publikálta, hogy a nyílt intervallumon folytonos függvények nem szükségszerűen egyenletesen folytonosak. A bizonyítás majdnem szóról szóra megegyezik Dirichlet 1854-es előadásával a véges integrálokról. Az egyenletes folytonosság már Bolzanonál megjelent, aki szintén belátta, hogy a nyílt intervallumon folytonos függvényeknek nem kell egyenletesen folytonosnak lenniük. Emellett megállapította, hogy a zárt intervallumon folytonos függvények viszont egyenletesen folytonosak, de nem adott rá teljes bizonyítást.
| |||