„Egyenletesen folytonos függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
74. sor:
\mapsto x^2</math> nem egyenletesen folytonos, de folytonos, így mivel '''R''' teljes, ezért Cauchy-folytonos is. Általában a korlátok nélküli terekben az egyenletes folytonosság erős feltétel. Kívánatos, hogy a kiterjesztéshez enyhébb feltételeket követeljünk meg.
Legyen például ''a > 1'' valós szám. Analízis nélkül általában az <math>f: x \mapsto a^x</math> függvény csak racionális ''x'' helyekre definiálható matematikai pontossággal. Ezt akarjuk kiterjeszteni a teljes '''R'''-re. Az
: <math>f(x+\delta)-f(x) = a^x(a^{\delta}-1)\,</math>
azonosság szerint ''f'' nem egyenletesen folytonos '''Q'''-n, viszont minden korlátos ''I'' intervallumon egyenletesen folytonos, így Cauchy-folytonos, tehát ''f'' egyértelműen kiterjeszthető folytonos függvénnyé ''I''-n. De mivel ez minden ''I''-re teljesül, azért ''f'' egyértelműen kiterjeszthető folytonos függvénnyé a teljes '''R'''-re.
Általában, ha <math>f: S \rightarrow R</math> folytonos, és '''R''' minden korlátos részhalmazán egyenletesen folytonos, kiterjeszthető a teljes ''X''-re, és ha ''X'' lokálisan kompakt, akkor ez meg is fordítható.
Az egyenletesen folytonos függvények kiterjesztésének alkalmazására példa az inverz Fourier-transzformáció képlete. Ezt először néhány függvényre bizonyítjuk, majd függvények sűrű részhalmazára. Végül a teljes térre kiterjesztjük, mivel lineáris leképezésként folytonos, így egyenletesen folytonos is.
==Általánosítások==
| |||