„Homeomorfia” változatai közötti eltérés

Nincs méretváltozás ,  7 évvel ezelőtt
nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎Források: +sablon)
Nincs szerkesztési összefoglaló
[[Fájl:Trefoil knot arb.png|bélyegkép|jobbra|240|Ez a háromlevelű csomó homeomorf a [[tórusz|tórusszal]]. Bár megfoghatatlannak tűnhet, 4 dimenzióban tényleg egymásba deformálhatóak.]]
* A körlap és a négyzet(lap) az [[Euklideszi síkgeometria|euklideszi síkon]] ('''R'''<sup>2</sup>) homeomorf (a körlap [[Polárkoordináta-rendszer|polárkoordinátázása]] ugyanis homeomorfizmus)
* A (-1;1) nyílt [[intervallum]] homeomorf a [[valós számok]] halmazával (például az arc tg függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
* Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
* A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a [[Euklideszi síkgeometria|síkkal]] (a [[sztereografikus projekció]] alkalmas homeomorf leképezés)
== Megjegyzések ==
 
A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az ''f'' : <nowiki>[0, 2π)</nowiki> → S<sup>1</sup>, ''f''(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környzetébekörnyezetébe képeződne.
 
A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus [[függvény kompozíció|kompozíciója]] is homeomorfizmus és egy ''X'' teret saját magára képező homeomorfizmusok (''X'' → ''X'') halmaza, a topologikus automorfizmusok [[csoport (matematika)|csoport]]ot alkotnak, melyet az ''X'' '''homeomorfizmus csoportjának''' hívnak. Ezt gyakran Homeo(''X'')-szel jelölik.
== Tulajdonságok ==
 
* Két egymással homeomorf tér ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal bír. Például ha egyikük [[Topologikus tér#Kompaktság|kompakt]], akkor a másik is; ha egyikük [[Topologikus tér#Összefüggőség|összefüggő]], akkor a másik is. Homeomorf terek homológiacsoportja megyezikmegegyezik. A tulajdonságok megtartása mindazonáltal nem terjed ki a [[metrikus tér|metrikus terek]] fogalmaival megfogalmazott tulajdonságokra. Például vannak homeomorf terek, melyek közül az egyik teljes, a másik nem.
* Homeomorfizmus egyszerre nyílt és zárt leképezés, azaz nyílt halmazt nyíltba, zártat zártba képez.
* Az ''n'' dimenziós térbeli <math>S^{n-1}</math> gömbhéjon definiált topologikus automorfizmus kiterjeszthető az általa határolt <math>B^{n}</math> gömb topologikus automorfizmusává (Alexandrov-féle kiterjesztési módszer).
== Kötetlen diszkusszió ==
 
Az egymásba derformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel – Például talán nem egyértelmű a definícióból, de egy [[szakasz (geometria)|szakaszt]] nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.
 
A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a [[homotópia|homotópiával]], ami egy folytonos deformálásnak van ''definiálva'', de ''függvények'' között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy ''X''-beli pont helyét az ''Y''-ban – elég csak a deformálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.
 
A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): [[Izotópiaizotópia|izotópiának]] hívják az ''X''-beli identitás és az ''X''-ből ''Y''-ba képzett homeomorfizmus között.
 
== Források ==