„Valószínűségszámítás” változatai közötti eltérés

helyesírási javítások
a (Malatinszky átnevezte a(z) Valószínűség-számítás lapot Valószínűségszámítás lapra az átirányítást felülírva: AkH. 12. kiadás 557. oldal szerint most már így helyes)
(helyesírási javítások)
{{Matematika}}
 
A '''valószínűség-számításvalószínűségszámítás'''<ref>A matematikai szakirodalomban gyakran előfordul a helyesírási hibás ''*valószínűségszámítás'' alakban (lásd: [[a szótagszámlálás szabálya]]).</ref> a [[matematika]] egyik ága. Eredeti motivációját a [[véletlen]] (más szóval indeterminisztikus) tömegjelenségek, röviden ''kísérletek'' vizsgálata adta. Ezek a kísérletek tetszőlegesen sokszor ismétlődhetnek (ettől tömegjelenségek), minden megismétlődésük többféle kimenetellel járhat, ugyanakkor nem tudjuk pontosan előre megmondani, hogy melyik ismétlődés alkalmával melyik kimenetel következik be (ettől indeterminisztikusak). Kísérlet például egy pénzérme feldobása: elvileg akárhányszor feldobhatjuk, de általában nem tudjuk határozottan megjósolni, melyik oldalára esik.
 
A huszadik században a valószínűség-számítástvalószínűségszámítást a [[Kolmogorov-axiómák]]kal formális alapokra helyezték. Ezzel a valószínűség-számításvalószínűségszámítás az analízis absztraktabb, [[halmazelmélet]]i-[[topológia]]i ágai közé tagozódott be.
 
Főbb ágai a [[klasszikus valószínűség-számítás]], a matematikai [[statisztika]], a [[sztochasztikus folyamat]]ok elmélete (folyamatstatisztika), és az [[információelmélet]].
* Fő szócikk: ''[[A valószínűség-számítás története]]''
 
A valószínűség-számításvalószínűségszámítás – „a véletlen matematikája” – megalapozói közt elsősorban említendő a francia [[Pierre de Fermat|Pierre Fermat]] ([[1601]]–[[1665]]) és [[Blaise Pascal]] ([[1623]]–[[1662]]), bár néhány ilyen tárgyú mű már az ő működésük előtt is megjelent. A legfontosabb példa a ''[[De ludo aleae]]'' ''(A kockajátékról)'' című könyv, amit [[Gerolamo Cardano|Cardanonak]] ([[1501]]–[[1576]]) tulajdonítanak, de a kockajátékról már [[Claudius római császár]] is írt egy hosszabb, tréfás értekezést. A matematikának ez az ága a [[szerencsejáték]]ok elméleteként indult, így a legtöbb korai, véletlenek törvényszerűségeiről szóló műnek hasonló címe volt. Levelezésükben Pascal és Fermat is a kockázáshoz és egyéb játékokhoz kapcsolódó problémákat, feladatokat ("[[pontosztozkodási probléma]]" ill. "[[de Méré lovag problémája]]") tárgyalnak és oldanak meg, és lerakják a "klasszikus" vagy "kombinatorikus" valószínűség-számításvalószínűségszámítás alapjait.
 
A valószínűség-számítás mint matematikai elmélet születési évének az [[1654]]-es esztendőt szokás tekinteni, ami Fermat és Pascal egyik ilyen tárgyú levelének kelte. Maga a „valószínűség” (''probabilitas'') szó [[Jakob Bernoulli]] (1654–[[1705]]) ''Ars conjectandi'' (''A találgatás művészete'', 1713.) című munkájában fordul elő először. Ha sokszor elvégezzük ugyanazt a kísérletet, és jegyezzük, hogy adott esemény ennek során hányszor következett be, akkor a kísérletet egyre többször végezve az adott esemény relatív gyakorisága (azaz az esemény bekövetkezései számának és a kísérletek számának hányadosa) egyre inkább megközelít egy számot: az esemény valószínűségét. Például, ha sokszor feldobunk egy dobókockát, amelyik egyenlő eséllyel eshet mind a hat oldalára, akkor elegendő sok feldobás után azt tapasztaljuk, hogy a dobások körülbelül 1/6-od részében kaptuk a hatos számot.
 
A szerencsejátékok elmélete később biztosítási, népesedési és sztochasztikus (véletlen) geometriai problémákkal (céllövészet elmélete) bővült. A fontosabb matematikusok, akik ilyen problémákkal foglalkoztak (és neveikkel például tételek nevében is találkozhatunk): [[Abraham de Moivre|Moivre]], [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], [[Thomas Bayes|Bayes]] (ld. [[Bayes-tétel|Bayes tétele]]), [[Siméon Denis Poisson|Poisson]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Buffon]] (lásd [[geometriai valószínűség]]). A [[XIX. század]]ban a valószínűség-számításvalószínűségszámítás a matematika önmagában is hatalmas, önálló ágává vált. [[Pierre-Simon de Laplace]] ([[1749]]–[[1827]]) [[1812]]-ben megjelent ''Théorie analitique des probabilités'' (''A valószínűségek analitikai elmélete'') című könyve nemcsak összefoglalója ennek az elméletnek, de sokáig fejlődésének egyik motorja.
 
A „modern kori” (XIX. század második fele–[[XX. század]] első fele) valószínűség-számítástvalószínűségszámítást az „orosz iskola” vitte tovább, köztük a legismertebbek [[Pafnutyij Lvovics Csebisev|Csebisev]], [[Andrej Andrejevics Markov|Markov]] és [[Alekszandr Mihajlovics Ljapunov|Ljapunov]]. Az elmélet axiomatikus megalapozását a moszkvai [[Andrej Nyikolajevics Kolmogorov|Kolmogorov]] végezte el [[1933]]-ban (lásd [[Kolmogorov-axiómák]]). Ezzel a valószínűség-számításvalószínűségszámítás a modern matematika többi ágával egyenrangú formális elméletté vált. Kolmogorovtól ered a „valószínűségi mező” fogalma: ez egy esemény-halmaznakeseményhalmaznak (eseménytérnek) és egy „valószínűség-kiszámítási módnak” (ez valamilyen nemnegatív valós szám értékű függvény) a párosa. Ez a fogalom már a posztmodern, struktúra- és modellelméleti szemléletű matematika terméke.
 
A valószínűség-számítás nemcsak megalapozódott a huszadik században, hanem folyamatosan olyan területekkel bővült, mint egy részecske bolyongásának leírása többdimenziós euklideszi térben (lásd [[Brown-mozgás]], [[Wiener-folyamat]]). A huszadik század második felében született meg önálló tudományként műszaki, mérnöki és statisztikai problémák termékeként a valószínűség-számítás két fontos új ága: a [[folyamat-statisztikafolyamatstatisztika]], illetve az [[információelmélet]]. De nemcsak a "kívülről jött", például [[fizika]]i eredetű problémákkal gazdagodott, mint a bolyongások; hanem alkalmazást nyert másféle ágakkal foglalkozó matematikusok körében is; így manapság olyan "furcsa" gondolatokkal találkozhatunk, hogy számelméleti problémákat valószínűség-számításivalószínűségszámítási alapon is lehet vizsgálni.
 
A természettudományokban (különösen a fizikában) az állítások „szilárdságának” számszerűsítésére használják, hasonlóképp, mint a [[hibaszámítás]]t és egyéb numerikus módszerek elméletét.
== Eseményalgebra ==
 
A valószínűség-számításvalószínűségszámítás formális tárgyalásához mindenekelőtt egy [[matematikai struktúra]] szükségeltetik. A valószínűség-számítás esetében ez egy ún. eseményalgebra, általában egy '''[[σ-algebra]]''', más néven egy '''mérhető tér'''. Az eseményalgebrában a kísérletet egy halmazzal azonosítjuk, mégpedig a kísérlet kimeneteleinek ''K'' halmazával. Ezt nevezzük '''eseménytér'''nek is (elemeit pedig '''elemi események'''nek is nevezzük). Például kockadobásnál a kimenetelek halmaza ''K''={1,2,3,4,5,6}.
 
'''Eseménynek''' nevezünk mindent, amiről a kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem. Például ha egy [[szabályos dobókocka|szabályos dobókockával]] dobunk, akkor a "hat az eredmény" egy esemény, de definiálhatóak bonyolultabb, összetett események is, pl. "3-nál nagyobb az eredmény", ami akkor következik be, ha 4-et, 5-öt, vagy 6-ot dobtunk, egyébként nem. Minden eseményt egyértelműen meghatároz az, hogy melyik kimenetelek esetén következik be, ezért matematikailag az eseményt a kimeneteleknek ezen részhalmazával azonosítjuk. Például, ha szabályos kockával 2-t, 4-et, vagy 6-ot dobunk, akkor bekövetkezik a "páros számot dobtunk" esemény, egyébként nem; tehát az esemény a ''K'' halmaz ''A''={2,4,6} részhalmazával azonosítható. A kimenetelek is felfoghatóak eseményeknek, hiszen a k∈''K'' kimenetelhez egyértelműen tartozik egy {k}⊆''K'' egyelemű esemény, azaz '''elemi esemény'''. A "kimenetel" és az "elemi esemény" fogalmai között tehát a gyakorlatban nincs jelentős eltérés, viszont formálisan különböznek.