„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→‎Hivatkozások: Kuros: Felsőbb algebra
Nincs szerkesztési összefoglaló
3. sor:
A '''mátrix''' a [[matematika|matematikában]] [[mennyiség]]ek [[téglalap]] alakú elrendezése (táblázata) ([[szám]]oké, függvényeké, kifejezéseké, vagy egyéb elemeké, esetleg más mátrixoké; általánosan valamilyen [[gyűrű (matematika)|gyűrű]] vagy [[vektortér]] elemeié).
 
A mátrixokra hasonló kalkulus („algebra”) építhető fel, mint az elemeikre, amelynek rendkívül sokféle alkalmazása lehetséges. Ennek tanulmányozása a [[lineáris algebra]] feladata. Mátrixokat szoktak használni [[lineáris egyenlet]]ek és [[lineáris leképezés|lineáris]], valamint [[bilineáris függvény|bilineáris transzformációk]]ek leírására. A mátrixok - a [[lineáris algebra]] (egyik) leghasznosabb fogalmaként - a matematikának a gyakorlatban legtöbbször alkalmazott eszközei között vannak, a matematika számos más ága mellett pedig a fizikától és komputergrafikától kezdve a biológián át egészen a nyelvészetig, számtalan tudományágban használhatóak akár az elméleti leírás tömör megfogalmazására, akár a számítások megkönnyítésére vagy automatizálására.
 
A mátrix egyik kedvenc szava a sci-fi íróknak is <ref group="mj">Az [[Mátrix (film)|azonos című filmtől]] kezdve a Marvel képregényein és -filmjein keresztül - [[Superman]], [[Transformers]] - egészen a [[Star Trek: Voyager]]ig megszámlálhatatlan sok alkotás használta ezt a szót.</ref>; azonban ezen használati módok legtöbbször még lazán sem kapcsolódnak a matematikai fogalomhoz.
 
== Definíciók és jelölések ==
340. sor:
=== Diadikus szorzás ===
 
Az n dimenziós valós vektortér '''a''' és '''b''' vektorainak diadikus szorzatán értjük és '''a'''o'''b'''-vel jelöljük azt a [[tenzor]]t, mely a vektortérbe tartozó minden egyes '''r''' vektorhoz az '''a'''('''b''''''r''') vektort rendeli.
Az n dimenziós valós vektortér '''a'''
és '''b'''
vektorainak diadikus szorzatán értjük és
'''a'''
o
'''b'''
-vel jelöljük azt a [[tenzor]]t, mely a vektortérbe tartozó minden egyes
'''r'''
vektorhoz az
'''a'''
('''b'''
'''r''')
vektort rendeli.
 
=== Hadamard-szorzat ===
396 ⟶ 384 sor:
{{Bővebben|Invertálható mátrix}}
 
Az invertálás csak a nem nulla determinánsú mátrixokra értelmezett. Vagyis, ha egy <math>n\times n</math>-es <math>A</math> mátrixra <math>\det(A) \neq 0</math>, akkor létezik egy <math>A^{-1}</math> mátrix, amire <math>A A^{-1} = A^{-1} A = I</math>, ahol ''I'' az <math>n\times n</math>-es identitásmátrix. Ezeket a mátrixokat invertálhatóknak nevezzük, míg a többit szingulárisnak.
 
A szinguláris mátrixokhoz nem tartozik ilyen mátrix. Ehelyett az inverzhez hasonló módon pszeudoinverzet definiálnak, ahol a szorzatról csak azt kötik ki, hogy szimmetrikus legyen:
:<math>A A^{-} = A^{-} A = S</math>
Tipikusan ez egy diagonális mátrix, a főátlóján 1 és 0 értékekkel.
 
474 ⟶ 462 sor:
 
== Vektorterek ==
Ha ''R'' kommutatív, egységelemes [[gyűrű (matematika)|gyűrű]], akkor a fölötte definiált <math>n \times m</math>-es mátrixok a mátrixösszeadásra és a skalárral való szorzásra [[modulus]]t alkotnak ''R'' fölött.
Az <math>A^T \cdot B</math> mátrixszorzat nyoma
:<math>\left\langle A,B\right\rangle = \operatorname{Tr}(A^TB)
500 ⟶ 488 sor:
Ha az <math>A</math> mátrix invertálható, akkor szorozhatunk az inverzzel:
 
:<math>A^{-1} \cdot A \cdot x=A^{-1} \cdot b \Leftrightarrow E \cdot x=A^{-1} \cdot b,</math>
 
így kapjuk az
516 ⟶ 504 sor:
adott ''K'', ''n'' és ''m'' esetén. A mátrixszorzás szintén megfelel a lineáris leképezések kompozíciójának, vagyis szorzatának. Ez asszociatív, ami egy újabb bizonyítást ad a mátrixszorzás asszociativitására.
 
Ha ''K'' kommutatív egységelemes gyűrű, akkor modulus helyett szabad K-modulusokat tekinthetünk. Ha ''K'' test, akkor tetszőleges véges dimenziós ''K'' fölötti ''V'' és ''W'' vektorterek izomorfak egy bázis választásával <math>K^n</math>-nel és <math>K^m</math>-mel valamely ''n''-re és ''m''-re, ahol ''n'' és ''m'' a ''V'' és a ''W'' terek dimenziói. Ha <math>v=(v_1,\ldots,v_n)</math> bázisa <math>V</math>-nek és <math>w=(w_1,\ldots,w_m)</math> bázis <math>W</math>-ben, akkor tetszőleges <math>u\in V</math> vektor egyértelműen előáll :<math>u = \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j</math> alakban, és hasonlók tudhatók ''W'' vektorairól is. Az itt megjelenő testelemek a vektor koordinátái, és
:<math>{}_vu=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} \in K^n</math>
 
536 ⟶ 524 sor:
mátrixszal. A mátrix függ a terek bázisaitól. Beszorzáskor a <math>v</math> bázisvektorokat a <math>w</math> bázisvektorok váltják fel.
 
Két lineáris leképezés, <math>f\colon V\to W</math> és <math>g\colon W\to X</math> szorzatát a
:<math>{}_x(g\circ f)_v = {}_xg_w \cdot {}_wf_v</math>
 
563 ⟶ 551 sor:
 
Ennek egy speciális alesetét alkotják a [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]]. Legyenek <math>U, V</math> Hilbert-terek, és <math>(u_i)_{i\in I}, (v_i)_{i\in I}</math> rendre ''U'' és ''V'' ortonormált bázisa. Ekkor a <math>f\colon U\to V</math> lineáris operátor, ahol a mátrix elemei a
:<math>f_{i,k} :=\langle u_i, f u_k\rangle</math>
testelemek, és ahol <math>\langle u,v\rangle </math> a Hilbert-tér skalárszorzata.
Sűrűn definiált lineáris operátorok is hasonlóan ábrázolhatók, amennyiben az értelmezési tartománynak van ortonormált bázisa.
597 ⟶ 585 sor:
 
=== Források ===
{{jegyzetek}}
* Források
** [http://www.hik.hu/tankonyvtar/site/books/b128/ssec-1-3-9.html Online lexikon cikkei a mátrixról]