„Hamel-dimenzió” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Kope (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A '''dimenzió''' a [[Line%C3%A1ris_algebra#Struktur.C3.A1lis_line.C3.A1ris_algebra|lineáris algebra]] egyik alapfogalma.
== Definíció ==
Egy '''V''' [[vektortér]] dimenziója tetszőleges [[bázis (matematika)|bázisának]] számossága. Ennek jogosságát az a tétel adja, ami szerint bármely két bázis számossága ugyanaz. Jele dim '''V'''.▼
Ha '''V'''={O}, akkor dimenziója 0.▼
▲Egy '''V''' [[Vektort%C3%A9r|vektortér]] dimenziója tetszőleges [[bázis (matematika)|bázisának]] elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel
Definíció alapján, ha '''V'''={'''0'''}, azaz a '''0''' tér esetén a dimenzió 0.
Ha a vektortérnek nincs véges [[Gener%C3%A1torrendszer|generátorrendszer]]e, akkor dimenziója végtelen.
== Példák ==
* ''F''<sup> n</sup> dimenziója ''n'', míg ''F''<sup> n × k</sup>-é ''nk''.
* az ''F'' feletti polinomok vektortere végtelen dimenziós
* a legfeljebb ''k''-adfokú polinomok ''k+1'' dimenziós alteret feszítenek ki.
* a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
== Tulajdonságok ==
;Ekvivalens feltételek
:''V'' ≠ '''0''' vektortér, n ∈ '''N'''<sup>+</sup>
:# dim ''V'' = n
:# ''V''-ben a maximálisan független vektorok száma: ''n''
:# ''V''-ben a minimális generátorrendszer ''n'' elemű.
* Ha <math> V\ </math> vektortér, <math> W \leq V </math>, akkor <math> \mathrm{dim}\,W \leq \mathrm{dim}\,V</math>.
* ''Véges dimenzió''s <math> V\ </math> vektortérre, ha <math> \mathrm{dim}\,W \leq \mathrm{dim}\,V </math>, akkor <math> W=V\ </math>.
== Rang ==
:Az '''a'''<sub>1</sub>,…,'''a'''<sub>n</sub> vektorrendszer ''rang''ja ''r'', ha az ''n'' vektor között a maximálisan független vektorok száma ''r''.
=== Tulajdonságok ===
:Az '''a'''<sub>1</sub>,…,'''a'''<sub>n</sub> vektorok által generált altér dimenziója
::<math>\mathrm{dim}\langle\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\rangle=\mathrm{rang}(\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math>
== Lásd még ==
* [[Bázis (matematika)|Bázis (matematika)]]
* [[Dimenzi%C3%B3|Dimenzió]]
* [[Line%C3%A1ris_algebra#Struktur.C3.A1lis_line.C3.A1ris_algebra|Lineáris algebra]]
* [[Line%C3%A1ris_lek%C3%A9pez%C3%A9s|Lineáris leképezés]]
* [[Tenzor|Tenzor]]
* [[Vektort%C3%A9r|Vektortér]]
[[Kategória:Lineáris algebra]]
[[en:Vector space]] [[bg:Линейно пространство]] [[ca:Espai vectorial]] [[cs:Vektorový prostor]] [[cy:Gofod fectoraidd]] [[da:Vektorrum]] [[de:Vektorraum]] [[eo:Vektora spaco]] [[es:Espacio vectorial]] [[fi:Lineaariavaruus]] [[fr:Espace vectoriel]] [[gl:Espazo vectorial]] [[he:מרחב וקטורי]] [[it:Spazio vettoriale]] [[ja:ベクトル空間]] [[ko:벡터 공간]] [[lmo:Spazzi veturiaal]] [[mk:Векторски простор]] [[nl:Vectorruimte]] [[no:Vektorrom]] [[pl:Przestrzeń liniowa]] [[pt:Espaço vetorial]] [[ro:Spaţiu vectorial]] [[ru:Линейное пространство]] [[simple:Vector space]] [[sk:Lineárny priestor]] [[sl:Vektorski prostor]] [[sr:Векторски простор]] [[sv:Linjärt rum]] [[uk:Лінійний простір]] [[ur:سمتیہ فضا]] [[vec:Spazsio vetoriàl]] [[vi:Không gian vectơ]] [[zh:向量空间]] [[zh-classical:向量空間]] [[zh-min-nan:Hiòng-liōng khong-kan]]
| |||