„Súlyvonal” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: Protokollcsere külső hivatkozásokban (WP:BÜ) |
a hivatkozás áthelyezése az írásjel mögé, egyéb apróság AWB |
||
2. sor:
A [[Geometria|geometriában]] a '''súlyvonal''' a [[háromszög]] csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes, illetve ennek az egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakasza. A háromszöget két egyenlő [[terület (matematika)|területű]] részre osztja. A három súlyvonal a háromszög [[súlypont]]jában metszi egymást, és a súlypont 1:2 arányban osztja a súlyvonalat.
Az összes többi, a háromszög területét megfelező vonal nem megy át a súlyponton.
A [[gömbi geometria|gömbháromszögtanban]] a gömbháromszög csúcsát és oldalfelező pontját összekötő „egyenes” és a fizikai értelemben vett súlyvonal, a csúcson átmenő és a területet megfelező „egyenes”, különbözhet, azonban ekkor is igaz, hogy az utóbbi értelemben vett súlyvonalak egy pontban metszik egymást (ez azonban általában nem harmadolópontja a súlyvonalaknak)
== Területfelező tulajdonság ==
A háromszög [[terület (matematika)|területe]] megkapható a háromszög egy oldalát a hozzá tartozó magassággal szorozva és ezt a szorzatot megfelezve. A súlyvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, és ezzel két háromszög keletkezik, amiknek egyik magassága megegyezik az eredeti háromszög magasságával, és az ehhez a magassághoz tartozó oldaluk fele az eredeti háromszög oldalának. Így a területük is fele lesz az eredeti háromszög területének.
10. sor:
'''Tétel:''' A háromszög súlyvonalai egy pontban, a [[súlypont]]ban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja.
'''Bizonyítás:''' Vegyük az ''ABC'' háromszöget, és tekintsük az ''c'' oldallal párhuzamos [[középvonal]]at! Jelölje ennek végpontjait ''F''<sub>1</sub> és ''F''<sub>2</sub>! Ekkor az ''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2</sub>''C'' háromszög hasonló lesz az ''ABC'' háromszöghöz, és a [[hasonlóság]] aránya 1:2.
Az ''AF''<sub>2</sub> és a ''BF''<sub>1</sub> súlyvonalak metszéspontja ''S''. Az ''ABS'' és az ''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2</sub>''S'' háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlőek. Mivel az ''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2</sub> középvonal párhuzamos a ''c'' oldallal, és hossza annak hosszának fele, ez a hasonlóság szintén 1:2 arányú. Tehát ''S'' harmadolja a súlyvonalakat, és a hosszabb rész a csúcs felé esik.
21. sor:
Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az ''a'' oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a-hoz tartozó súlyvonal(s) távolsága <math>\frac{c^2-b^2}{2a}</math>, az a-hoz tartozó magasság pedig = <math>\sqrt{b^2-(\frac{a^2-c^2+b^2}{2a})^2}</math>-tel. A [[Pitagorasz-tétel]] alapján pedig ebből következik, hogy: <math>s=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}</math>.
A súlyvonalak háromszögbe eső szakaszainak hosszára:<ref name=P&S>Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 1996: pp. 86-87.</ref>
:<math>\tfrac34 k < </math> súlyvonalak összege <math> < \tfrac32 k</math>,
27. sor:
ahol ''k'' az adott háromszög [[kerület (geometria)|kerülete]].
Az ''a'', ''b'', ''c'' oldalú háromszögben, ahol a súlyvonalak rendre <math>s_a, s_b, s_c</math>,<ref name=P&S/>
:<math>\tfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=s_a^2+s_b^2+s_c^2.</math>
| |||