Wikipédia

„LU felbontás” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Botha42 (vitalap | szerkesztései)
20 szerkesztés
ami a Lásd még alatt volt, már szerepelt linkelve
41. sor:
Egy [[invertálható mátrix]]nak akkor és csak akkor létezik ''LU'' felbontása, ha az első főátló nem tartalmaz nullát. Csak egy olyan felbontás létezik, ahol ''L'' (vagy ''U'') főátlóiban egyesek vannak. A mátrixnak szintén csak egy ''LDU'' felbontása létezik azonos feltételek mellett.
 
Ha egy mátrix szinguláris, akkor létezik ''LU'' felbontása. Valójában, ha egy négyzetes mátrix rangja ''k'' akkor az ''LU'' felbontás akkor létezik, ha az első ''k'' főátló nem nulla, habár ez fordítva nem igaz.
 
A szükséges és elégséges feltételek teljesülése mellett nem szükséges invertálhatónak lennie egy mátrixnak, hogy létezzen LU felbontása.A feltételek teljesülése esetén az almátrixok rangja megegyezik. A [[Gauss-elimináció]] legáltalánosabb esete az LU felbontás.
 
Minden mátrixnak -– négyzetes vagy sem -– létezik ''LUP'' felbontása. L és P négyzetes mátrixok, de U olyan alakú mint A. A felső trianguláris mátrix főátlója felett csak nulla értékek szerepelhetnek, a bal felső saroktól kezdve. Az ''LUP'' felbontás akkor teljes, ha az ''U'' főátlója csak egyeseket tartalmaz.
 
== Pozitív definit mátrixok ==
Ha egy ''A'' mátrix Hermite szimmetrikus és pozitív definit, akkor ''U'' mátrix ''L'' transzponáltja. Ebben az esetben ''A''-t a következőképpen írhatjuk fel:
:<math> A = L L^{*}. \, </math>
Ezt a felbontást [[Cholesky-felbontás]]nak nevezzük. Mindig csak egy Cholesky-felbontás létezik. Továbbá, a Cholesky-felbontás kiszámítása hatékonyabb és numerikusan stabilabb, mint az LU felbontás kiszámítása.
 
== Egyszerű példa ==
112. sor:
 
=== Inverz mátrix ===
Az ''L'' és ''U'' mátrixok segítségével kiszámítható [[Mátrixinvertálható inverziómátrix|mátrixok inverze]] kiszámítható:
 
:<math>
125. sor:
:<math> \det(A) = \det(L) \det(U) = \prod_{i=1}^n u_{ii}. </math>
 
== Lásd mégJegyzetek ==
{{jegyzetek}}
* [[Mátrix (matematika)|Mátrix]]
* [[Cholesky-felbontás]]
* [[Invertálható mátrix]]
 
== Jegyzetek ==
{{források}}
== Források ==
* {{Cite book | last1=Bau III | first1=David | last2=Trefethen | first2=Lloyd N. | author2-link=Lloyd Nicholas Trefethen | title=Numerical linear algebra | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | isbn=978-0-89871-361-9 | year=1997}}
* {{Cite book | last1=Cormen | first1=Thomas H. | author1-link=Thomas H. Cormen | last2=Leiserson | first2=Charles E. | author2-link=Charles E. Leiserson | last3=Rivest | first3=Ronald L. | author3-link=Ronald L. Rivest | last4=Stein | first4=Clifford | author4-link=Clifford Stein | title=[[Introduction to Algorithms]] | publisher=MIT Press and McGraw-Hill | isbn=978-0-262-03293-3 | year=2001}}
* {{cite book | first1=Gene H. | last1=Golub | author1-link=Gene H. Golub | first2=Charles F. | last2=Van Loan | author2-link=Charles F. Van Loan | year=1996 | title=Matrix Computations | edition=3rd | publisher=Johns Hopkins | place=Baltimore | isbn=978-0-8018-5414-9}}.
* {{cite book | first1=Roger A. | last1=Horn | first2=Charles R. | last2=Johnson | year=1985 | title=Matrix Analysis | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-38632-2}}. See Section 3.5.
* {{cite book | first1=Alston | last1=Householder | year=1975| title=The Theory of Matrices in Numerical Analysis}}.
* {{cite book | first1=Pavel | last1=Okunev | first2=Charles | last2=Johnson | year=1997| title=Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix | id={{arxiv|archive=math.NA|id=0506382}}}}.
* {{Cite book | last1=Press | first1=William H. | last2=Flannery | first2=Brian P. | last3=Teukolsky | first3=Saul A. | author3-link=Saul Teukolsky | last4=Vetterling | first4=William T. | title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing | url=http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | year=1992 | chapter=LU Decomposition and Its Applications | pages=34–42}}
 
== KapcsolódóTovábbi linkekinformációk ==
* [http://mathworld.wolfram.com/LUDecomposition.html LU decomposition] on ''MathWorld''.
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article51 LU decomposition] on ''Math-Linux''.
 
* [http://www.netlib.org/lapack/ LAPACK] is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
* [http://www.alglib.net/ ALGLIB] includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
150 ⟶ 145 sor:
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/lu_decomposition.html LU decomposition] at ''Holistic Numerical Methods Institute''
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/LUFactorMod.html Module for LU Factorization with Pivoting]
* [http://demonstrations.wolfram.com/LUDecomposition/ LU Decomposition] by [[Ed Pegg, Jr.]], [[The Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
 
{{Portál|matematika}}
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/LU_felbontás”