„Abszolút konvergencia” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Nincs szerkesztési összefoglaló
A [[matematika|matematikában]] egy végtelen számsor '''abszolút konvergens''', ha tagjainak [[abszolútérték]]ét véve véges lesz az összeg.
Képlettel, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty a_n</math> abszolút konvergens, ha van egy <math>\textstyle L</math> valós szám, hogy <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| = L</math>.
Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor '''feltételesen konvergens'''.
 
Hasonlóan, egy ''f'' függvény <math>\textstyle\int_0^\infty f(x)\,dx</math> [[improprius integrál]]ja abszolút konvergens, ha az <math>\textstyle\int_0^\infty \left|f(x)\right|dx = L</math> integrál konvergens.
 
Tanulmányozása azért fontos, mert egyrészt viszonylag gyakori, másrészt elég erős ahhoz, hogy olyan tulajdonságok is bizonyíthatók legyenek, amelyek más sorokra nem teljesülnek.
 
==Háttere==
Egy konvergens sor tagjai nemcsak valós vagy komplex számok lehetnek, hanem tetszőleges topologikus Abel-csoport elemei is. Az abszolút konvergencia ezen kívül megköveteli az abszolútérték általánosítását is, a normát. Itt a továbbiakban a csoportra additív jelölést használunk, így a ''G'' csoport egységeleme helyett nullelemről beszélünk, és 0-val jelöljük.
A normára teljesülnek a következők:
*''G'' nullelemének normája 0: <math>\|0\| = 0.</math>
*Minden ''x'' elemre <math>\|x\| = 0</math> implies <math>x = 0.</math>
*Minden ''x'' elemre <math>\|-x\| = \|x\|.</math>
*Minden ''x'', ''y'' elemre <math>\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.</math>
Ekkor ''G'' a <math>d(x,y) = \|x-y\|</math> távolsággal metrikus tér, és ebben értelmezhető az abszolút konvergencia: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \|a_n\| < \infty.</math>
 
Valós vagy kmplexkomplex számok esetén alkalmazható az abszolútérték, mint norma.
 
==Kapcsolat a konvergenciával==
Ha a fenti ''G'' teljes a fenti ''d'' metrikára, akkor az abszolút konvergens sorozatok konvergensek. Ezt általában is a komplex esethez hasonlóan lehet bizonyítani. A teljességből következik a Cauchy-konvergenciakritérium, és a [[háromszög-egyenlőtlenség]]et kell alkalmazni.
 
Speciálisan Banach-terekben az abszolút konvergenciából következik a konvergencia. Megfordítva, ha egy [[normált tér]]ben minden abszolút konvergens sorozat konvergens, akkor a tér [[Banach-tér]].
 
Feltételesen konvergens sorozatra példa az alternáló harmonikus sorozat. Több konvergenciakritérium, mint a [[hányadoskritérium]] és a [[gyökkritérium]], abszolút konvergenciát bizonyít. Ez azért van, mert a [[hatványsor]]ok is abszolút konvergensek konvergencialemezükben.
 
Mivel egy komplex sor akkor és csak akkor konvergens, ha valós és képzetes része valós, ezért gondolhatunk a sor <math> a_n</math> tagjaira, mint valós számokra.
Tegyük fel, hogy <math>\sum |a_n|</math> konvergens. Ekkor <math>2\sum |a_n|</math> is konvergens.
 
Mivel <math>0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|</math>, azért
:<math>0 \le \sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|) \le \sum_{n = 1}^m 2|a_n|\le \sum_{n = 1}^\infty 2|a_n|</math>.
Így <math>\sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|)</math>korlátos monoton sorozat (in ''m''), ami konvergens.
Banach-terekben hasonló a bizonyítás:
 
Legyen ''X'' Banach-tér, &sum;''x''<sub>''n''</sub> abszolút konvergens ''X''-ben. Mivel <math>\scriptstyle\sum_{k=1}^n\|x_k\|</math> valós számok Cauchy-sorozata, azért minden &epsilon; &gt; 0 valós számra és elég nagy ''m'' &gt; ''n'' egész számokra
:<math>\left|\sum_{k=1}^m\|x_k\|-\sum_{k=1}^n\|x_k\|\right| = \sum_{k=n+1}^m\|x_k\|< \varepsilon.</math>
 
| title = An introduction to Banach space theory
| series = Graduate Texts in Mathematics
| volume = 183
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 1998
| isbn = 0-387-98431-3
Adva legyen az <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> sor a normált ''G'' Abel-csoport elemeiből vett tagokkal, és legyen σ a természetes számok permutációja. Ekkor <math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}</math> ennek egy átrendezése. Egy sorozat feltétlenül konvergens, ha minden átrendezése ugyanahhoz a határértékhez tart, mint az eredeti.
 
Ha ''G'' teljes, akkor az abszolút konvergenciából következik a feltétlen konvergencia. Ennek megfordítása már érdekesebb. Valós sorozatokra, így komplex és véges dimenziós pontsorozatokra is Riemann átrendezési tételéből következik. Ez azonban már általánosabb esetekben nem igaz, hiszen az ℓ<sup>2</sup> [[Hilbert-tér]]ben van sorozat, ami nem abszolút konvergens, de feltétlenül konvergens. Példa:
:<math>a_n = \tfrac{1}{n} e_n,</math>
 
ahol <math>\{e_n\}_{n=1}^{\infty}</math> ortonormált bázis. A. Dvoretzky és C. A. Rogers tétele<ref>Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. (1950), "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces", Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. '''36''':192&ndash;197.</ref> szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik nem abszolút konvergens, de feltételesen konvergens sor.
 
Minden ε > 0-hoz választhatunk <math>\kappa_\varepsilon,\lambda_\varepsilon \in \mathbf{N}</math> számokat, hogy:
 
:<math>\begin{align}
\forall N>\kappa_\varepsilon &\quad \sum_{n=N}^\infty \|a_n\| < \tfrac{\varepsilon}{2} \\
\forall N>\lambda_\varepsilon &\quad \left\|\sum_{n=1}^N a_n-A\right\| < \tfrac{\varepsilon}{2}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
N_\varepsilon &=\max \left \{ \kappa_\varepsilon, \lambda_\varepsilon \right \} \\
M_{\sigma,\varepsilon} &= \max \left\{ \sigma^{-1}\left( \left \{ 1,\dots,N_\varepsilon \right \}\right) \right\}
\end{align}</math>
 
 
:<math>\begin{align}
\left\|\sum_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\| &= \left\| \sum_{i \in \sigma^{-1}\left(\{ 1,\dots,N_\varepsilon \}\right)} a_{\sigma(i)} - A +
\sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\| \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^{N_\varepsilon} a_j - A \right\| + \left\|\sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\| \\
:<math> \forall\varepsilon > 0, \exists M_{\sigma,\varepsilon}, \forall N > M_{\sigma,\varepsilon} \quad \left\|\sum_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\|< \varepsilon, </math>
 
tehát:
 
:<math>\sum_{i=1}^\infty a_{\sigma(i)}=A</math>
 
==Sorozatok szorzata==
Két sor Cauchy-szorzata az összegek szorzatához tart, ha legalább az egyik abszolút konvergens. Tegyük fel, hogy:
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n = A</math> és <math>\sum_{n=0}^\infty b_n = B</math>.
 
Cauchy-szorzatuk ''c<sub>n</sub>'', ahol:
:<math>c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.</math>
 
Ha ''a<sub>n</sub>'' vagy ''b<sub>n</sub>'' abszolút konvergens, akkor
:<math>\sum_{n=0}^\infty c_n = AB.</math>
 
==Integrálok abszolút konvergenciája==
A valós vagy komplex értékű ''f'' függvény <math>\int_A f(x)\,dx</math> integrálja abszolút konvergens, ha <math>\int_A \left|f(x)\right|\,dx < \infty.</math> Azt is mondjuk, hogy ''f'' abszolút integrálható.
 
Ha ''A'' = [''a'',''b''] zárt korlátos intervallum, akkor minden itt folytonos függvény integrálható, és mivel ha a függvény folytonos, akkor az abszolútértéke is, így minden itt folytonos függvény abszolút integrálható. Általában nem minden ilyen intervallumon abszolút integrálható függvény integrálható. Legyen <math>S \subset [a,b]</math> nem mérhető, és legyen <math>f = \chi_S - 1/2,</math>, ahol <math>\chi_S</math> ''S'' karakterisztikus függvénye. Ekkor ''f'' nem Lebesgue-mérhető, de |''f''| konstans. Ezzel szemben, ha egy függvény [[Riemann-integrál]]ható, akkor abszolútértéke is integrálható. Ez a [[Lebesgue-integrál]]hatóságra is vonatkozik. Másrészt azonban ez nem teljesül a [[Kurzweil-Henstock-integrál]]ra. Ez az improprius Riemann-integrálokat is magában foglalja.
 
Hasonlóan, ha az ''A'' intervallum végtelen, ismert, hogy vannak impropriusan Riemann-integrálható függvények, amelyek nem abszolút konvergensek. Ezzel szemben egy adott <math>\sum_{n=0}^\infty a_n </math> sor esetén tekinhetjük a hozzá rendelt lépcsős <math>f_a: [0,\infty) \rightarrow \mathbf{R}</math> függvényt, aminek definíciója <math>f_a([n,n+1)) = a_n</math>. Ekkor <math>\int_0^\infty f_a \, dx</math> abszolút vagy feltételes konvergenciája <math>\sum_{n=0}^\infty a_n. </math> viselkedésétől függ.
 
Egy másik példa a konvergens, de nem abszolút konvergens improprius Riemann-integrálra <math>\int_{\mathbf{R}} \frac{\sin x}{x} \, dx</math>.
 
Hogyha ''A'' mértéktér, akkor egy valós értékű függvény Lebesgue-integrálja pozitív és negatív része segítségével definiálható:
# Ha ''f'' mérhető, és |''f''| integrálható, akkor ''f'' integrálható.
 
Mindezek a Lebesgue-integrál definícióján alapulnak. Továbbá, ha egy ''S'' halmazon a számlálómértéket használjuk, akkor visszakapjuk a rendezetlen összeg definíciót. Hogyha pedig ''S'' = '''N''', akkor a Lebesgue-integrálhatóság, az abszolút konvergencia és a rendezetlen összegezhetőség megegyezik.
 
A fentiek teljesülnek akkor is, ha az értékek Banach-térből valók. A Riemann-integrál definíciója könnyen átvihető az ilyen függvényekre is. A Lebesgue-integrál pozitív és negatív részét Daniell funkcionálisabb megközelítése helyettesítheti, így juthatunk a [[Bochner-integrál]]hoz.
 
==Jegyzetek==
{{jegyzetek}}
 
==Források==
* Walter Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis'' (McGraw-Hill: New York, 1964).