„Peano-aritmetika” változatai közötti eltérés

A Peano -aritmetika 3. axiómája szerint az <math>\scriptstyle{+}</math> -nak van (jobboldali) nulleleme. Levezethető továbbá a [[kommutativitás]], [[asszociativitás]] is, azonban az összes [[csoport]]axióma még nem állítható elő, mivel szinte egy számnak sincs [[Ellentett|inverze]] – és ez rendben is van, mivel a [[Negatív és nem-negatív számok|negatív számok]] nem természetes számok.

A szorzásnak megfelelő <math>\scriptstyle{\cdot}</math> -ról is bizonyítható, hogy asszociatív, kommutatív és [[Zéruselem|egységelemes]]. Inverz itt is csak kivételes esetben van. Egyfajta osztás azonban mégiscsak értelmezhető majd, ez lesz az ún. maradékos osztás, ennek azonban inkább [[számelmélet]]i, mint [[algebra]]i jelentősége lesz.

Fontos tétel továbbá a két műveletet összekötő egyik irányú [[disztributivitás]]: A <math>\scriptstyle{\cdot}</math> disztributív az <math>\scriptstyle{+}</math> -ra nézve.

* [[Tranzitív reláció|Tranzitív]]: Ha három közül a második nem nagyobb az egyikelsőnél, és a kettőharmadik közénem nagyobb a esikmásodiknál, akkor a harmadik nem nagyobb az elsőnél sem.

* Antiszimmetrikus: Semelyik kettő közül sem lehet egyszerre mindkettő kisebb a másiknál (ilyenkor ugyanis magánál lenne kisebb, ami tiltott).

* Tranzitív: Ha három közül aza egyikharmadik kisebb a kettőmásodiknál, közéés esika második kisebb az elsőnél, akkor a harmadik kisebb az elsőnél is.

* lineáris: Bármely kettőkét különböző elem közül pontosan az egyik kisebb a másiknál.

<center><math>\scriptstyle{\forall x (0\leq x) }</math></center>