Wikipédia

„Perdület” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Visszaállítottam a lap korábbi változatát: 89.132.98.63 (vita) szerkesztéséről Hidaspal szerkesztésére
a a klasszikus mechanikai rész átdolgozása tankönyvek alapján
1. sor:
A '''perdület''', (ritkánmás '''forgásmennyiség'''néven impulzusnyomaték, fizikus szóhasználattalvagy '''impulzusmomentum''') a klasszikus fizikában általában véve egy test azon törekvése, hogy fenntartsa forgási mozgásállapotát. Mértéke egyenlő a [[tehetetlenségi nyomaték]] és a [[szögsebesség]] szorzatával. Jele ''L''. Mértékegysége a [[kilogramm|kg]]·[[méter|m]]<sup>2</sup>/[[másodperc|s]], vagy az ezzel ekvivalens [[newtonjellemző (mértékegység)|N]]·[[méter|m]]·[[másodperc|s]]vektormennyiség.
 
Jele: '''L''', mértékegysége a [[kilogramm|kg]]•[[méter|m]]<sup>2</sup>/[[másodperc|s]], vagy az ezzel ekvivalens [[newton (mértékegység)|N]]•[[méter|m]]•[[másodperc|s]].
[[Megmaradó mennyiség]], azaz zárt rendszer összes perdülete állandó. Ez a perdületmegmaradás törvénye.
 
A kvantummechanikában az impulzusmomentum a [[hullámfüggvény]] forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.
 
== A klasszikus mechanikában ==
[[Fájl:Torque animation.gif|bélyegkép|250px|Grafikus ábrázolás. Összefüggés az [[erő]] (F) és a [[forgatónyomaték]] (τ), valamint a [[lendület]] (p) és a perdület (L) között.]]▼
 
=== Definíció ===
Egy mozgó [[tömegpont]] adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg: <math> \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math>, ahol <math> \mathbf{r} </math> a tömegpont adott vonatkoztatási pontból mért helyvektora, és <math> \mathbf{p} </math> a [[lendület]]e, azaz a [[tömeg]] és a [[sebesség]] szorzata. <ref>Holics László: Fizika, Akadémiai Kiadó, 2011</ref>
Egy mozgó [[tömegpont]] perdületét az alábbi kifejezés adja meg:
 
A vektorszorzat definíciója alapján az <math> \mathbf{r} </math>, a <math> \mathbf{p} </math> és az <math> \mathbf{L} </math> vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, és az impulzusnyomaték nagysága a következő szerint számolható:
:<math> \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math>,▼
:<math> L = {r}\cdot{p}\cdot\sin\theta_{r,p}</math>, ahol <math> \theta_{r,p}</math> a helyvektor és az impulzus által bezárt szög.
 
Több tömegpontból álló rendszer adott pontra vonatkoztatott teljes perdülete az egyes pontok perdületeinek vektori eredője:
ahol ''r'' a tömegpont valamely vonatkoztatási ponttól vett helyvektora, ''p'' a [[lendület]]e.
▲:<math> \mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i) </math>,
 
Merev testek rögzített tengely körüli forgása esetén az impulzusnyomatékot a fenti vektorszorzat helyett egyszerűbb alakban is felírhatjuk:
Több tömegpontra a teljes perdület a részek perdületeinek eredője:
:<math> {L} = \Theta \cdot \omega </math>, ahol <math>\omega </math> a forgás szögsebessége és <math>\theta</math> a test adott tengelyre vonatkozó [[tehetetlenségi nyomaték]]a.
 
=== A perdülettétel, azaz a perdület megváltozása és a forgatónyomaték ===▼
:<math> \mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i
▲[[Fájl:Torque animation.gif|bélyegkép|250px|GrafikusA ábrázolás.tömegpontra Összefüggésható azF [[erő]] (F) és aτ [[forgatónyomaték]]a (τ), valamintés a pont mozgásához tartozó p [[lendület]] (p)illetve és aL perdület (L) között.]]
Legyen egy tömegpont esetén a rá ható <math> \mathbf{F}</math> erő adott pontra vonatkozó forgatónyomatéka:
<math> \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} </math>, ahol a forgatónyomatékot az animáción <math> \mathbf{ \tau} </math>-val jelölt helyett a szokásosabb <math> \mathbf M </math> jelöli.
A perdülettétel szerint a perdület megváltozását a forgatónyomaték okozza, és a perdület idő szerint deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal. Tehát:
:<math> \mathbf \frac {LdL}{dt} = \Thetamathbf \omegaM </math>,. ▼
 
=== A perdület megmaradásának törvénye ===
\times \mathbf{p}_i </math>
A fentiek alapján, ha a forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület állandó:
<math> \sum \mathbf M = 0 \rightarrow \mathbf \frac {dL}{dt}= 0 \rightarrow \mathbf L= \mathrm{const.} </math>
Ez a perdületmegmaradás törvénye.
 
===Merev test forgásegyenlete===
A legtöbb esetben csak egy tengely körüli forgásokat vizsgálunk, ekkor a perdület nagyságát a [[vektoriális szorzat]] definíciója alapján másképp is írhatjuk:
Merev test tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata, ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:
 
<math> \frac {dL}{dt}=\frac {d(\theta\cdot\omega)}{dt}=\theta \frac {d\omega}{dt}=\theta \cdot\beta</math>, ahol <math> \beta</math> a test forgásához tartozó szöggyorsulás.
:<math> \mathbf{L} = \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p} =
\pm |\mathbf{r}_{T}||\mathbf{p}| </math>,
 
A perdülettétel ebben az esetben a test forgását leíró egyenlet, az úgynevezett forgásegyenlet is egyben:
ahol ''r''<sub>T</sub> a lendületre merőlegesen mért távolság, az ún. [[erőkar]]. Gyakran hasznos előjeles mennyiségként értelmezni a perdület nagyságát. Ha az ''r'' és ''p'' vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, akkor pozitív, ha balsodrásút, akkor negatív az előjel.
 
:<math>N = \inttheta M\,cdot\beta dt= M </math>▼
Kiterjedt testek esetén hasznos a [[tehetetlenségi nyomaték]] segítségével kifejezni ''L''-t:
 
Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:
:<math> \mathbf{L} = \underline{\underline{\Theta}}\mathbf{\omega} </math>,
:<math>\begin{align} M = 0 \Thetarightarrow \beta &= \frac {\Theta\ d\omega}{dt} &= 0 \fracrightarrow {dL}{dt}\omega = \endmathrm{alignconst.} </math>▼
 
===A perdületmegmaradás alkalmazásai===
ahol ''ω'' a test [[szögsebesség]]vektora, ''Θ'' a tehetetlenséginyomaték-tenzor. Rögzített [[Tengely (mechanika)|tengely]] körüli forgás esetén ezt az alábbi egyszerű alakban írhatjuk fel:
[[Fájl:PrecessionOfATop.svg|bélyegkép|jobbra|250px| A két ellentétes irányban ható, egyforma nagyságú '''F<sub>g</sub>''' és '''-F<sub>g</sub>''' erőből álló erőpár [[forgatónyomaték]]a merőleges a pörgettyű forgástengelyére, azaz pörgettyű perdületére. Mivel a perdület idő szerinti deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal, a perdület és ezzel a forgástengely iránya változik a forgatónyomaték irányában. Ezt hívjuk [[precesszió]]nak.]]
 
AAmikor perdületmegmaradás magyarázza meg, hogy miért gyorsul fel aegy forgásban levő korcsolyás,korcsolyázó amikora lábait és a karjait forgásibehúzza tengelyea közelébe vonja:törzséhez, a mozdulat lecsökkentisorán testénekcsökken a tehetetlenségi nyomatékát, ésnyomatéka. mivelMivel külső forgatónyomaték nem hat rá, ezért a perdület állandóságaperdületmegmaradás miatt a szögsebessége nőni fog, azaz forgása felgyorsul.▼
▲:<math> \mathbf{L} = \Theta \omega </math>,
 
Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a [[fehér törpe|fehér törpék]], [[neutroncsillag]]ok és [[fekete lyuk]]ak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból képződnekkeletkeznek. (Így egy csillag nagyságának 10<sup>4</sup>-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 10<sup>8</sup>-szorosával való növekedését eredményezi.)▼
ahol ''ω'' a test (előjeles) szögsebessége, ''Θ'' a tehetetlenségi nyomatéka.
 
A perdület megmaradása miatt a Föld–Hold rendszer esetében azt eredményezi, hogy a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.▼
▲=== A perdület megváltozása ===
 
=== Centrális erőtér és a perdületmegmaradás===▼
A tehetetlenséginyomaték-lökést (jelöljük most ''N''-nel) a testre ható ''M'' [[forgatónyomaték]] ''t'' [[idő]] szerinti [[integrál]]jaként definiáljuk.
Amennyiben a testre ható erők eredője centrális, azaz a test mozgása közben mindig egy adott pont felé mutat, akkor az erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomaték zérus. Így az erre a pontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad.
 
▲:<math>N = \int M\, dt </math>
 
A testre ható forgatónyomaték megadható a test ''Θ'' tehetetlenségi nyomatékának és ''β'' [[szöggyorsulás]]ának szorzataként. Ugyanakkor a szöggyorsulás a test ''ω'' szögsebességének időbeli [[derivált]]ja. A szögsebességet a konstans tehetetlenségi nyomatékkal megszorozva kapjuk a perdületet, vagyis a forgatónyomaték felírható a perdület időbeli deriváltjaként.
 
▲:<math>\begin{align} M = \Theta\beta &= \frac {\Theta\ d\omega}{dt} &= \frac {dL}{dt} \end{align}</math>
 
Ezt a tehetetlenséginyomaték-lökést definiáló képletbe behelyettesítve és egyszerűsítve azt kapjuk, hogy a tehetetlenséginyomaték-lökést valóban a perdület megváltozása:
 
:<math>\begin{align} N &= \int \frac{dL}{dt}\, dt &= \int dL &= \Delta L \end{align} </math>
 
== Perdületmegmaradás ==
 
[[Fájl:PrecessionOfATop.svg|bélyegkép|jobbra|250px|Mivel a [[forgatónyomaték]] a perdület idő szerinti deriváltja, a két ellentétes irányban ható, ''F<sub>g</sub>'' és ''-F<sub>g</sub>'' erők által okozott [[forgatónyomaték]] megváltoztatja az ''L'' perdület nagyságát ezen forgatónyomaték irányában. (A [[precesszió]] ennek a következménye.)]]
 
A perdületmegmaradás törvénye kimondja, hogy zárt rendszer perdületösszege állandó. Ez a törvény a tér folyamatos irányszimmetriájának a matematikailag levezetett következménye. (Lásd: [[Noether-tétel]].)
 
A perdület idő szerinti deriváltját forgatónyomatéknak nevezzük:
 
:<math> M = \frac{dL}{dt} = r \times \frac{dp}{dt} = r \times F </math>
 
Mivel „zárt” rendszerről van szó ez matematikailag azt jelenti, hogy a rendszerre ható forgatónyomatékok összege zérus:
 
:<math> L = \mathrm{const.} \leftrightarrow \sum M = 0 </math>,
 
ahol ''M'' a részecskerendszerre ható bármilyen forgatónyomaték.
 
Egy keringési pályán a perdület egyenló a bolygó sajátperdületének (spin) és annak keringési pályán való mozgása miatti perdületének (pályaperdület vagy pálya-impulzusmomentum) összegével:
 
===Impulzusnyomaték a tömegközépponti rendszerben===
Több pontból álló rendszer esetén az impulzusnyomaték a tömegközéppont mozgásának ismeretében két részre bontható. <ref>Tasnádi P., Skrapits L., Bérces Gy.: Mechanika I., Dialóg Campus Kiadó, 2004</ref> Magának a tömegközéppontnak a mozgásához tartozó pálya-impulzusmomentumra, és a rendszer tagjainak ehhez viszonyított mozgásához tartozó saját-impulzusmomentumra. Ez utóbbit nevezzük spinnek.
:<math> \mathbf{L}_{\mathrm{teljes}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{palya}} </math>
 
== A relativisztikus mechanikában ==▼
A perdületmegmaradás törvénye igen hasznos [[csillagászat]]ban, a [[bolygó]]k, [[hold]]ak, vagy [[műhold]]ak keringési pályáival kapcsolatos számításoknál. Amikor a csillagászok azt veszik észre, hogy egy bolygó várható forgási szögsebességénél lassabban forog akkor azonnal azt kell feltételezniük, hogy annak holdja(i) van(nak), mert a perdületmegmaradás törvénye szerint ennek a perdületnek a bolygó és holdja(i) között meg kell oszlania.
 
▲A perdületmegmaradás magyarázza meg, hogy miért gyorsul fel a forgásban levő korcsolyás, amikor lábait és karjait forgási tengelye közelébe vonja: a mozdulat lecsökkenti testének tehetetlenségi nyomatékát, és mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, ezért a perdület állandósága miatt a szögsebessége nőni fog, forgása felgyorsul.
 
▲Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a [[fehér törpe|fehér törpék]], [[neutroncsillag]]ok és [[fekete lyuk]]ak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból képződnek. (Így egy csillag nagyságának 10<sup>4</sup>-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 10<sup>8</sup>-szorosával való növekedését eredményezi.)
 
▲A perdület megmaradása a Föld–Hold rendszer esetében azt eredményezi, hogy a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.
 
▲=== Centrális erőtér ===
 
Centrális erőtérben az erőközpontra vonatkoztatott perdület is megmarad, bár a centrális erőtérben mozgó test önmagában nem zárt rendszer, hiszen külső erő hat rá, a centrális erőtér ereje. A centrális erőtérben mozgó tömegpontra ható, az erőközpontra vonatkozóan számított forgatónyomaték ugyanis mindig nulla.
 
=== A tér izotrópiája ===
 
▲== A relativisztikus mechanikában ==
{{csonk-dátum|csonk-szakasz|2005 júniusából}}
 
== A kvantummechanikában ==
 
A [[kvantummechanika|kvantummechanikában]] a perdületet a [[lendület]]hez hasonlóan a [[hullámfüggvény]]en ható [[operátor]]ként definiáljuk:
 
125 ⟶ 96 sor:
Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún, ''pályaperdület'' vagy ''pályamomentum''. A [[relativisztikus kvantummechanika|relativisztikus kvantummechanikában]] megjelenik a [[spin]], ami ilyen módon nem definiálható.
 
== Jegyzetek ==
{{jegyzetek}}
 
== Források ==
 
* {{hely|Landau I}} {{cite book|title=Elméleti fizika - Mechanika|author=[[L. D. Landau]], [[E. M. Lifsic]]|publisher=Tankönyvkiadó, Budapest|year=1974|id=ISBN 963 17 0436 X}}
* {{hely|Landau III}} {{cite book|title=Elméleti fizika - Kvantummechanika|author=[[L. D. Landau]], [[E. M. Lifsic]]|publisher=Tankönyvkiadó, Budapest|year=1978|id=ISBN 963 17 3259 2}}
 
== További információk ==
*[http://nagysandor.eu/harrisonia/CatOnItsFeet_HU.html Magyarított Flash prezentáció: a mindig talpra eső macska és a perdületmegmaradás]. Szerző: David M. Harrison
*[http://nagysandor.eu/harrisonia/Precession_HU.html Magyarított Flash animáció egy precesszáló pörgettyűről]. Szerző: David M. Harrison
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Perdület”