„Nemeuklideszi geometria” változatai közötti eltérés

Az [[párhuzamossági axióma|5. posztulátum]] elhagyásával kapott maradék axiómákból következik (bizonyítható), hogy a párhuzamosság szöge nem lehet [[derékszög]]nél nagyobb, s ennek következménye, hogy a háromszögek szögeinek összege sem lehet két derékszögnél nagyobb. A paralellákkal foglalkozó [[Gerolamo Saccheri]] (1667-17331667–1733) és [[Johann Heinrich Lambert]] (1728-17771728–1777) eljutottak egy olyan felismerésig, hogy ezt a lehetőséget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgálni olyan geometriai rendszerek lehetőségét is, amelyekben a szögösszeg nagyobb <math>2\pi</math>-nél. Mivel ez a maradék axiómáknak ellentmond, további axiómá(ka)t kell megváltoztatni, elhagyni vagy másokkal helyettesíteni.

[[Georg Friedrich Bernhard Riemann]] [(1826–1866]) két ilyen változtatás lehetőségét mutatta meg, s ezzel két újabb nemeuklideszi rendszert konstruált: