„Képzetes egység” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
(Átirányítás ide: Imaginárius egység)
 
A [[matematika|matematikában]] az '''imaginárius egység''' (vagy képzetes egység) egy olyan [[szám]], melynek négyzete −1. Leggyakrabban ''i'', ''j'' vagy a [[Görög abc|görög ióta]] betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a [[valós számok]] halmaza (<math>\mathbb{R}</math>) kiterjeszthető a [[komplex számok]] halmazára (<math>\mathbb{C}</math>). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.
#ÁTIRÁNYÍTÁS [[Imaginárius egység]]
 
== Meghatározás ==
Az imaginárius egység az alábbi [[másodfokú egyenlet]] egyik megoldásaként definiálható.
 
<math>x^2+1=0\,\!</math>
 
vagy másképpen
 
<math>x^2=-1\,\!</math>.
 
Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.
 
Az imaginárius egységre a [[valós számok]]nál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy ''i''-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (<math>0=x^2+1\,\!</math>) és <math>i^2\,\!</math> helyébe -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy ''i'' magasabb egész kitevős hatványai ''-i'', 1 és ''i'':
 
<math>i^3=i^2i=(-1)i=-i\,\!</math>
 
<math>i^4=i^3i=(-i)i=-(i^2)=-(-1)=1\,\!</math>
 
<math>i^5=i^4i=(1)i=i\,\!</math>
 
== ''i'' és ''-i'' ==
A <math>x^2=-1\,\!</math> egyenletnek ''i'' bevezetése után ''két'' elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és [[reciprok]]ai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az [[egyenlet]] ''i'' megoldása adott (''i'' definíciója alapján), akkor a ''-i'' (ami nem egyenlő ''i''-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk ''i'' meghatározására, úgy tűnhet hogy az [[egyenlet]] gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve "pozitív ''i''"-nek. Ez azért van mert, habár ''i'' és ''-i'' mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a ''-i''-t ''+i''-re cserélnénk (és ugyanúgy minden ''+i''-t ''-i''-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az <math>x^2+1=0\,\!</math> két <math>x\,\!</math> gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.
 
Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza <math>\mathbb{R}[X]/(x^2 +1)\,\!</math>-ként meghatározva egyedi az [[izomorfizmus]] szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz [[automorfizmus]]a van <math>\mathbb{R}[X]/(x^2 +1)\,\!</math>-nek, az azonosság ''X'' ''-X''-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem <math>\mathbb{C}</math> kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)
 
Egy hasonló probléma merül fel, ha a [[komplex számok]]at 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét
 
:<math>
x=
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
 
és
 
:<math>
x=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
 
megoldása az :<math>
x^2=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}
</math>
 
mátrixegyenletnek.
 
Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a "pozitív" körforgás "iránya" az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.
 
Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a [[komplex számok|komplex szám]] más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.
 
== Pontos használat ==
Az imaginárius egység néha <math>\sqrt{-1}</math>-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós <math>x \geq 0\,\!</math> számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:
:<math>-1=i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=\sqrt{-1*-1}=\sqrt{1}=1</math> ''(hibás)''
A
:<math>\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}</math>
azonosság csak ''a'' és ''b'' nem negatív valós értékeinél áll fenn.
Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például <math>\sqrt{-7}</math> helyett célszerűbb <math>i\sqrt{7}</math>-t írni.
 
== Az imaginárius egység négyzetgyöke ==
Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük ''i'' négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:
:<math>\pm \sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i)</math>, amennyiben <math>(\sqrt{C})^2=i</math>
Ez levezethető Euler formulájából:
:<math>i = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) \,</math>
és
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math>
ezért
:<math>e^{i(\pi/2)} = i\,\!</math>
négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:
:<math>e^{i(\pi/4)}=i^{0,5} \,\!</math>
ha ''x'' = π/4 in cis(''x''), akkor
:<math>
\begin{align}
\pm \sqrt{i} & = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4) \\
& = \frac{1}{\pm \sqrt{2}} + \frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\
& = \frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\
& = \frac{\pm \sqrt2(1+i)}{2}\\
& = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).\\
\end{align}
</math>
 
Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:
:{|
|<math>\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ </math>
|<math>= \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad (i^2 = -1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{2} (2i) \ </math>
|-
|
|<math>= i. \ </math>
|}
 
== ''i'' reciproka ==
''i'' reciproka könnyedén kifejezhető:
:<math>\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i</math>
Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden ''i'' [[komplex számok|komplex szám]]ra:
:<math>\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai </math>
 
== ''i'' hatványai ==
''i'' hatványai egy körben ismétlődnek:
 
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
:<math>i^5 = i\,</math>
:<math>i^6 = -1\,</math>
:<math>\ldots</math>
Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol ''n'' egész szám:
:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
Ebből következik, hogy:
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
ahol ''mod'' a modulus művelet.
 
== ''i'' és Euler képlete ==
Euler képlete a következő:
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math> ,
ahol ''x'' egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex ''x''-re is.
Az ''x'' = π helyettesítés a következőt eredményezi:
:<math>e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,</math>
és meg is kapjuk az elegáns [[Euler azonosság]]ot:
:<math>e^{i\pi} + 1 = 0.\,</math>
Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, ''e'' és ''i'') ''az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével''.
 
=== Példa ===
''x''=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:
:<math>e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i.\,</math>
vagy, mindkettőt ''i'' hatványra emelve:
:<math>e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>
vagy
:<math>e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,</math>,
ami megmutatja, hogy ''i''<sup>''i''</sup>-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:
:<math>i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,</math>
ahol ''N'' akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.
 
== Műveletek ''i''-vel ==
Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető ''i''-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.
 
Egy szám ''ni''-edik hatványa:
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n))</math>.
Egy szám ''ni''-edik gyöke:
:<math> \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).</math>
Egy szám ''i'' alapú logaritmusa:
:<math> \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.</math>
''i'' koszinusza egy valós szám:
:<math> \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.</math>
és ''i'' szinusza imaginárius:
:<math> \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.</math>
 
== Alternatív jelölések ==
* Az elektronikában és a kapcsolódó területeken, az imaginárius egység gyakran <math>j\,</math>-ként van jelölve, hogy elkerüljék az [[áramerősség]]gel való felcserélését. A python programozási nyelv is a ''j''-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az ''i''-t és a ''j''-t is használhatjuk.
* Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek amelyek a ''j''-t ''-i''-ként definiálják.
* Néhány szöveg a görög [[ióta]]-t használja az imaginárius egység jelölésére.
{{Portál|Matematika}}
 
{{DEFAULTSORT:Imaginariusegyseg}}
[[Kategória:Komplex számok]]
[[Kategória:Komplex analízis]]
Névtelen felhasználó