„Normált tér” változatai közötti eltérés

Nincs méretváltozás ,  5 évvel ezelőtt
form
a (4 bites, 3 dimenziós, n elemű stb. kötőjel nélkül; OH 411. (helyesírási javítás kézi ellenőrzéssel))
(form)
== Példák ==
Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha <math>x\in\mathbb{{K}}^n</math>, akkor ennek euklideszi normája:
:<math>||x||_E=\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\ldots+|x_n|^2}</math>
 
<math>||x||_E=\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\ldots+|x_n|^2}</math>
 
Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:
:<math>||x||_{p\max}=\sqrt[p]max\{|x_1|^p+,|x_2|^p+,\ldots+,|x_n|^p\}</math>
 
:<math>||x||_{\maxp}=\max\sqrt[p]{|x_1|,^p+|x_2|,^p+\ldots,+|x_n|\^p}</math>
 
<math>||x||_{p}=\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p}</math>
 
Ha adott két normált tér, akkor egy köztük ható lineáris [[operátor]] normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis <math>(X,||\cdot||_X),\ (Y,||\cdot||_Y)</math> két normált tér, <math>A:X\to Y</math> egy lineáris operátor. Ennek [[operátornorma|(operátor)normája]]:
:<math>||A||=\sup\{||Ax||_Y :||x||_X\leq 1 \}</math>, feltéve hogy ez a szuprémum véges.
 
<math>||A||=\sup\{||Ax||_Y :||x||_X\leq 1 \}</math>, feltéve hogy ez a szuprémum véges.
 
Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, '''korlátos lineáris operátoroknak''' nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a [[folytonos függvény|folytonos]] lineáris operátorok.
 
Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> [[mértéktér]], és vegyük a következő függvényteret:
:<math>L^p(X)=\{f:X\to\mathbb{{K}} :\int_{X}|f|^p d\mu<\infty\}</math>
 
<math>L^p(X)=\{f:X\to\mathbb{{K}} :\int_{X}|f|^p d\mu<\infty\}</math>
 
Vezessünk be ezen egy [[ekvivalenciareláció|ekvivalencia-relációt]]:
:<math>f\sim g\Leftrightarrow \mu\left(\{x:f(x)\not=g(x)\}\right)=0</math>
 
<math>f\sim g\Leftrightarrow \mu\left(\{x:f(x)\not=g(x)\}\right)=0</math>
 
Az ekvivalenciaosztályokat egy reprezentánsukkal szokás jelölni, míg a relációval faktorizált <math>L^p</math>-t szintén <math>L^p</math>-vel.
 
Legyen most <math>f\in L^p</math>, és ekkor
:<math>||f||_p=\left(\int_{X}|f|^pd\mu \right)^{1/p}</math>.
 
<math>||f||_p=\left(\int_{X}|f|^pd\mu \right)^{1/p}</math>.
 
Ennek valójában speciális esete a következő:
:<math>f\in C([a,b])</math> esetén <math>||f||_{\infty}=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}</math>.
 
<math>f\in C([a,b])</math> esetén <math>||f||_{\infty}=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}</math>.
 
== Tulajdonságok ==
=== Kapcsolat a metrikus terekkel ===
Minden <math>(V,||\cdot||)</math> normált tér [[metrikus tér|metrizálható]]. Ha ugyanis <math>x,y\in V</math>, akkor ezek távolságát, <math>\varrho(x,y)</math>-t definiálhatjuk a következőképp:
:<math>\varrho(x,y)=||x-y||</math>
 
<math>\varrho(x,y)=||x-y||</math>
 
Ezzel egyben azt is látjuk, hogy a norma segítségével [[topologikus tér|topológiát]] definiálhatunk, így van értelme már fentebb említett folytonosságról beszélni normált terek között. Fontos megjegyezni, hogy egyazon vektortéren két különböző norma nem feltétlen ad [[homeomorfia|homeomorf]] topologikus struktúrát.
=== Ekvivalens normák ===
Legyen adva <math>(V,||\cdot||_1)</math> és <math>(V,||\cdot||_2)</math>, azaz egyazon vektortéren két különböző norma. Azt mondjuk, hogy ők '''ekvivalensek''', ha létezik olyan <math>0<a,b\in\mathbb{{R}}</math>, hogy minden <math>x\in V</math> esetén:
:<math>a\leq\frac{||x||_1}{||x||_2}\leq b</math>
 
<math>a\leq\frac{||x||_1}{||x||_2}\leq b</math>
 
Ekkor <math>(V,||\cdot||_1)</math> és <math>(V,||\cdot||_2)</math> homeomorfak, ugyanis az <math>Id:V\to V,\ Id(x)=x</math> [[Függvény (matematika)|függvény]] az [[inverz]]ével együtt teljesíti a [[Lipschitz-tulajdonság|Lipschitz-feltételt]].
 
Legyen <math>(V,||\cdot||_V)</math> és <math>(W,||\cdot||_W)</math> két normált tér. A <math>V\times W=\{(v,w):v\in V,w\in W\}</math> vektortéren szintén értelmezhető normált tér struktúra:
:<math>||(v,w)||_2_1=\max\{||v||_V+_v,||w||_W\}</math>
 
:<math>||(v,w)||_1_2=\max\{||v||_v,_V+||w||_W\}</math>
 
<math>||(v,w)||_2=||v||_V+||w||_W</math>
 
Megmutatható, hogy a fenti két norma ekvivalens.
20 671

szerkesztés